超總體

超總體是一種假設的總體。在抽樣調查中一般都是有限總體，當要證明一些估計量，如比率估計量在y_i和x_i的關係是過原點的直線，y_i對這條直線的方差與x_i成比例時是模型無偏時，就要假設該總體是抽自一個無限總體的隨機樣本，這一無限總體為y_i=βx_i+ε_i，其中ε_i是與x_i獨立，且x_i>0，ε_i的均值是0，方差是λx_i，這類無限總體稱作超總體。

基本介紹

• 中文名：超總體
• 外文名：super population
• 所屬學科：數學（統計學)
• 屬性：一種假設的總體
• 相關概念：固定總體模型

基本介紹

在描述作為總體指標估計的樣本統計量的性質時，有兩種考慮方法。一種是將有限總體看成是實際存在的明確的總體。就某個總體指標 而言，一個總體就意味著 這樣N個值。當然對某個 ，若它入樣，則數值是已知的；若不入樣則是未知的。這樣的模型稱為固定總體模型(fixed population model)。另一種思考方式是將上述N個 值看作是從另一個假想的總體 中抽取得到的大小為N的隨機樣本。這個假想的總體稱為超總體(super population)。對這個超總體需要有一定假定。記超總體中的期望運算為，則最簡單的一個假定是：

這裡的與正是超總體的均值與方差，且兩個不同單元的指標值是不相關的。

兩種不同模型在概念及處理方法上稍有不同。例如對於固定總體模型，期望是指對於所有可能的樣本取平均，記為E，同樣一個概念，例如估計量的無偏性(估計量的期望值等於被估計的總體參數)，如果是關於固定總體成立(即期望是以E取的)，稱為是設計無偏的；而如果是關於超總體模型成立(即期望是以取的)，則稱為是模型無偏的。

超總體分布

考慮現實的有限總體是隨機向量的一個實現，這個叫做超總體，其分布函式為。由抽樣設計抽樣觀測這個隨機向量的若干分量作為樣本。利用此樣本對或等作出預測，分布稱為超總體分布。

為什麼要引進超總體分布?大致有下列幾種解釋。

(1)有限總體可作為一個大的自然總體的一個樣本實現。例如，對一片樹林調查材積量，每棵樹都可看作是一定自然環境中生長的此種樹的一個樣本實現，超總體分布就是這一環境中生長的樹的材積的可能分布。

(2)超總體分布是描述現實世界的某種隨機現象的模型如經濟學、社會學中就經常為一些現象建立一些研究的模型。

(3)從貝葉斯統計的觀點，超總體分布被考慮為先驗分布。

(4)超總體模型是一種數學工具，使人們能更透徹地了解一些理論結果，例如可研究在一些確定的模型下，某些估計的最優性等問題。

(5)超總體模型是研究抽樣調查中非抽樣誤差的一個得力工具。