《超曲面的變分問題及拉格朗日子流形的研究》是依託南開大學，由王險峰擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：超曲面的變分問題及拉格朗日子流形的研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：王險峰
- 依託單位：南開大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
子流形幾何是整體微分幾何的重要組成部分，超曲面的變分問題以及拉格朗日子流形都是子流形幾何的重要研究內容。空間形式中的超曲面理論是三維歐氏空間中的曲面論的自然發展和推廣。拉格朗日子流形是辛幾何中最基本的研究對象之一，與鏡對稱理論及弦論有密切聯繫。本項目計畫用流形上的分析、外微分法和活動標架法、共形幾何的方法及李群和李代數的方法等來研究以下問題：（1）丘成桐關於高維歐氏空間中的常數量曲率超曲面的猜想。球面中的極小超曲面和常平均曲率超曲面的穩定性指標及相關猜想。實空間形式中的線性Weingarten超曲面和帶邊界的超曲面的保體積變分問題及其穩定性問題、對應的Jacobi運算元的特徵值估計問題。（2）凱勒流形中具有平行第二基本形式的拉格朗日子流形、哈密頓極小拉格朗日子流形、具有共形Maslov形式的拉格朗日子流形及迷向拉格朗日子流形等的分類問題、刻畫問題和拉格朗日子流形的非平凡例子的構造問題。
結題摘要
子流形幾何是整體微分幾何的重要組成部分，超曲面的變分問題以及拉格朗日子流形都是子流形幾何的重要研究內容，也是本項目的核心主題。本項目按照研究計畫研究了子流形幾何的若干問題，在以下四個方面得到一系列研究成果：（1）我們研究了球面中的線性Weingarten超曲面的保體積變分問題、穩定性問題，並得到了對應的Jacobi運算元的第一特徵值和第二特徵值的最佳上界估計。（2）我們完全分類了歐氏空間中截面曲率滿足一定pinching條件的超曲面與任意一個黎曼流形的乘積流形中的極小穩定緊緻子流形。（3）我們得到了復歐氏空間和復射影空間中的拉格朗日子流形的一個新的微分拓撲球定理。（4）我們給出了從3維齊性流形（Berger球，Heisenberg群Nil_3,李群PSL(2,R)的萬有覆蓋空間以及李群Sol_3）到3維復空間形式的拉格朗日浸入的完整分類，得到了CP^3中的Berger球的一個新刻畫。
