賽費特纖維空間(Seifert fibre spaces)亦稱賽費特流形。一類特殊的3維流形。除了3維球面與透鏡空間以外，賽費特纖維空間是一類較為具體，研究得較多的3維流形，而且它在3維流形上的齊性幾何(即常曲率幾何)中扮演著重要的角色。
基本介紹
- 中文名：賽費特纖維空間
- 外文名：Seifert fibre spaces
- 領域：數學
- 學科：幾何
- 別稱：賽費特流形
- 性質：一類特殊的3維流形
簡介,詳細釋義,3維流形的幾何,透鏡空間,
簡介
賽費特纖維空間(Seifert fibre spaces)亦稱賽費特流形。一類特殊的3維流形。除了3維球面與透鏡空間以外，賽費特纖維空間是一類較為具體，研究得較多的3維流形，而且它在3維流形上的齊性幾何(即常曲率幾何)中扮演著重要的角色。一個3維流形M，若它能表示為M中一些互不相交的簡單閉曲線之並，則稱為賽費特纖維空間，這些閉曲線稱為M的纖維。
詳細釋義
若對於其中的一個纖維c，取c在M中的正則鄰域N(c)，可以要求N(c)由M中的一些纖維所構成，則把N(c)看做獨立於M之外的流形，有N(c)=B×S，而當N(c)按原來的方式放回到M時，對於N(c)上的一個纖維c′，在B×S上可以表示為λμ，其中λ代表π1(B×S)中的生成元S，μ代表其中的生成元B.當n=±1時，稱c為正則的，否則c稱為奇異的。由於在奇異纖維附近的纖維都是正則的，當M為緊緻流形時，M中僅有有限個奇異纖維，M為正則纖維之並。現在對M的研究，可著眼於這些奇異纖維上，通過適當調整c′的取向，總可假定n>0，0≤m≤n/2。若將M中每條纖維等同為一個點，則得軌道空間S，以及射影η：M→S。由於η(N(c))為S中的一個2維胞腔，從而表明S為2維流形，稱為M的伴隨賽費特曲面。設M有奇異纖維cα1，cα2，…，cαq，B1，B2，…，Bq為η(cα1)，η(cα2)，…，η(cαq)在S中互不相交的2維胞腔鄰域。若S=S-∪Int Bi， M=η(S)，則η|M：M→S為通常意義下的纖維叢映射。若S≠0(當M無奇異纖維時，把一個正則纖維看做奇異即可)，則S可收縮為圓周的一點並，因此η|M：M→S有截面，選η(Bi)的生成元ci，ti，其中ti為M上正則纖維，ci與ti相交於一點。另一方面，已有η(Bi)的生成元μi，λi，而ti=μiλi(當cαi為(mi，ni)型奇異纖維時)，所以ci=μiλi，其中simi-rini=1， μi=tici，這樣可以由π1(M)中增加關係tici=1而計算π1(M)。具體說來，由范卡彭定理易知有下列結果：若M為有g個奇異纖維的賽費特纖維空間，其賽費特曲面S有虧格g以及k個邊界分支。
若賽費特纖維空間M為閉流形，則其中的賽費特結構可能不惟一，但是它上面的齊性幾何由兩個不變數決定，其一為賽費特曲面S的歐拉示性數χ，其二為M的歐拉示性數e。
3維流形的幾何
研究3維流形上的常曲率幾何。至今可以用三種方式來談論幾何，第一種：古典的歐氏幾何，在其中考慮點、線、面、角、長度等以及它們之間的相互關係，而且這種方法對於非歐幾何也適用；第二種：微分幾何;第三種是克萊因意義下的幾何，即考慮空間X與其上的—個可遷變換群G，所謂幾何(X，G)即考慮X在G之下的那些不變性.當然這三者只是立論不同而已，其內容有時是共通的。在這裡所論的幾何正是克萊因意義之下的幾何。由於流形M與它的泛覆疊空間X之間有相同的度量，所以為了討論流形M上的局部齊性度量，只須討論X上的齊性完備度量即可，其中G=Isom(X)，即X上的保距群，並假定G有子群H，使得軌道空間(流形)X/H是緊緻的(稱為(X，G)有緊商).在這些限制之下，瑟斯頓(Thurston，W.P.)有下列定理：
1.任何單連通3維流形X上有緊商的完備齊性幾何(X，Isom(X))等價於下列8種幾何之一：
2.任何閉3維流形上，若有模型於上述意義下的幾何，則這種幾何是惟一的。
當然，瑟斯頓也注意到在閉3維流形的非平凡連通和之中，除了RP#RP以外，均無上述意義下的幾何，因此他的工作中也包含一些幾何猜想，即他認為任何緊緻、可定向3維流形，當用其中一些互不相交的球面與環面去切，並在球面的切口處再補上3維球體以後，必然有幾何結構。這些猜測之中包含著著名的龐加萊猜想，但是看來要證實它們還須走漫長的道路.在3維流形上存在常曲率幾何，這是近年來由瑟斯頓發展起來的一個新的研究課題，它對於流形性質的研究具有重要的意義。
透鏡空間
透鏡空間是一類特殊的可定向閉3維流形。有了3維閉流形的海嘎特分解與海嘎特圖概念以後，一個有趣的問題是，能否對於有某一固定虧格的海嘎特圖的流形進行分類。當虧格為1時，即對於分解(V，V′)，其中V=V′為環面或克萊因瓶，賴德邁斯特(Reidemeister，K.W.F.)於1935年成功地進行了分類，所得到的閉3維流形是透鏡空間或S上的不可定向S叢。但是，對於虧格大於1的情形，至今尚無相應的結果。若V=S×B為環體，π1(V)是環面V的基本群，以S=a以及B=b為生成元，則V上的閉曲線ab為簡單閉曲線若且唯若p，q互素.於是，給定整數p，q，使得p≥0，(p，q)=1，則存在惟一3維閉流形Lp，q，它由海嘎特圖(V;J)決定，並且J為V上的簡單閉曲線，它在π1(V)中表示的元素為ab，這種流形稱為p，q型的透鏡空間。
