伯努利不等式

伯努利不等式，又稱貝努利不等式，是分析不等式中最常見的一種不等式，由數學家伯努利提出。

基本介紹

• 中文名：伯努利不等式
• 外文名：Bernoulli inequality
• 注意：注意前提、等號成立條件
• 發明人：伯努利（Bernoulli）
• 適用學科：高等數學
• 又名：貝努利不等式

基本概念

對實數x>-1，

在時，有成立；

在時，有成立。

可以看到等號成立若且唯若n = 0,1，或x = 0時。

伯努利不等式經常用作證明其他不等式的關鍵步驟。

伯努利不等式的一般式為

（對於任意 都有且,即所有同號且大於等於-1） 若且唯若n=1時等號成立

證明

設x>-1,且x≠0,n是不小於2的整數,則(1+x)^n≥1+nx。

證明：

先證明對所有正整數不等式成立。用數學歸納法：

當n=1，上個式子成立，

設對n-1，有：

(1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立。

則

(1+x)^n

=(1+x)^(n-1)(1+x)

>=[1+(n-1)x](1+x)

=1+(n-1)x+x+(n-1)x^2=1+nx+nx^2-x^2

>=1+nx

就是對一切的自然數，當

x>=-1，有

(1+x)^n>=1+nx

下面把伯努利不等式推廣到實數冪形式：

若r ≤0或r ≥ 1，有(1+x)^r ≥ 1 + rx

若0 ≤ r ≤ 1，有(1+x)^r ≤ 1 + rx

這個不等式可以直接通過微分進行證明，方法如下：

如果r=0，1，則結論是顯然的

如果r≠0，1，作輔助函式f(x)=(1+x)^r-(1+rx), 那么f'(x)=r*(1+x)^(r-1)-r, 則f'(x)=0 <==> x=0;

下面分情況討論：

1. 0 < r < 1，則對於x > 0，f'(x) < 0；對於 − 1 < x < 0，f'(x) > 0。嚴格遞增，因此f(x)在x = 0處取最大值0，故得(1+x)^r ≤ 1+rx。

2. r < 0或r > 1，則對於x > 0，f'(x) > 0；對於 − 1 < x < 0，f'(x) < 0。嚴格遞減，因此f(x)在x = 0處取最小值0，故得(1+x)^r ≥ 1+rx

證畢。

相關不等式

下述不等式從另一邊估計：對任意，都有

。

我們知道（ x>0），因此這個不等式是平凡的。