變形梯度

基本介紹

• 中文名：變形梯度
• 外文名：gradient of deformation
• 表達式：X=к(X)

理性力學中一個有關變形的幾何量。在參考構形(見構形) к上的物質點X的位置矢量X記為：
X=к(X)，
它在直角坐標系下的分量為X_K(K=1，2，3)。 為了探討物質點X附近的變形，在參考構形上研究兩個鄰近物質點的位置X和X+dX。在構形χ上，它們分別占據位置x和x+dx。

這時

或

(k，K=1，2，3)

稱為變形梯度。它是一個二階張量，表示dX和 dx之間的線性關係，描述物質點X附近的變形。變形梯度的行列式

J=detF
給出構形χ和參考構形к的體積比。物體有限部分的體積通過運動，既不會成為零，也不會成為無限大，所以0<J<。這時變形梯度F稱為非奇異的。
設X₁=к₁(X)和X₂=к₂(X)為物質點X在參考構形к₁和к₂上的位置，則

稱為由參考構形к₁到參考構形к₂的變形梯度。
設在時間τ和時間t時物體的構形為ξ=χ(X，τ)和x=χ(X，t)，則

稱為ξ對於x的相對變形梯度，其中▽表示梯度算符，下標t表示把流動構形作為參考時的量。