一般方法,級數展開,
一般方法
很類似除法，以求200的開平方為例
1 4. 1 4 2…… {以小數點為界，每隔2位寫一位得數，注意加小數點}
√2`00. {以小數點為界，每隔2位做一個標記（其實做不做沒所謂）}
1 1 {算出不大於最右一組數的開平方的最大整數，寫在標記左上方，
即 Int(sqrt(最右一組數））， ；並把這個整數的平方寫下1}
100 {計算它們的差，在右邊添兩個零}
24 96 {將剛才求得的一位數乘以20（即1*20）然後，算出不大於差的x（20+x),
的x的最大整數 4 }
400 {計算它們的差，在右邊添兩個零}
281 281 {將求得的數乘以20（即14*20）然後，算出不大於差的x（280+x),
的x的最大整數 1 }
11900 {計算它們的差，在右邊添兩個零}
2824 11296 {同上，算出不大於差的x（141*20+x），的x的最大整數 4}
60400
28282 56564
3826
……
級數展開
⒈由代數式的變換
Sqrt(x)=a/b * 1/Sqrt[1-(xb2-a2）/(xb2）]
而1/sqrt（1-y) = 1+（1/2）y+（1*3）/（2*4）y2+（1*3*5）/（2*4*6）y3+…
a/b是Sqrt(x）的近似值.
例如Sqrt⑵≈239/169,a=239,b=169，得
Sqrt⑵= （239/169）*1/Sqrt（1-1/57122）
⒉開N （正整數 次方）（x是被開方數）
（x)1/n=a/b * 1/[1-(xbn-an)/(xbn)]1/n
而1/（1-y)1/n = 1 + （1/n)y + （1*(n+1））/(n*2n)y2 + （1*（1+n)*（1+2n))/(n*2n*3n)y3+...
它的時間複雜度是 O(n2）.
牛頓疊代法 （它是目前最快的算法，∴這是同時是最重要的方法）
先求出1/sqrt(A）的近似值並賦給X，反覆運算下式
hn=1-Axn2
xn+1=xn+xn*hn/2
直到得到想要的精度（每算一次上式，可比前次多差不多一倍的精度）
{也可以用X←X+X[4（1-AX2）+3（1-AX2）2]/8，算一次，可比前次多差不多2倍的精度}
最後X←AX 就得到Sqrt(A)
反覆算的過程有許多地方可以最佳化：
While X<>0 do begin
Mul(X,X,Tmp);
Mul(Tmp,A,Tmp); {每次只取比X多一倍位數的A}
Tmp ← 1-Tmp; {for i=1 to size do tmp<-999…- tmp}
Mul(Tmp,X,Tmp);
Mul(Tmp,0.5,Tmp); {乘以0.5 比除以2快}
Add(X,Tmp,X); {X的前（size-1）部分幾乎不用考慮}
End;
⒉開N （正整數 次方）（A是被開方數）
X≈Exp(-Ln(A)/n); {X約等於A開N次方的倒數}
While X精度不夠do
X ← X+X（1-AXn)/n; {算一次，可比前次多差不多一倍的精度}
X←A*Xn-1 {得到A開N次方}
