親和數

親和數，又稱相親數、友愛數、友好數，指兩個正整數中，彼此的全部約數之和（本身除外）與另一方相等。畢達哥拉斯曾說：“朋友是你靈魂的倩影，要像220與284一樣親密。”

人和人之間講友情，有趣的是，數與數之間也有相類似的關係，數學家把一對存在特殊關係的數稱為“親和數”。常言道，知音難覓，尋找親和數更使數學家絞盡了腦汁。親和數是數論王國中的一朵小花，它有漫長的發現歷史和美麗動人的傳說。

基本介紹

• 中文名：親和數
• 外文名：amicable numbers
• 別稱：朋友數、相親數
• 表達式：a=3*2^(x-1)-1, b=3*2^x-1,c=9*2^(2x-1)-1
• 提出者：畢達哥拉斯
• 提出時間：公元前580年-500年
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：數學
• 定義：兩個正整數全部約數和與另一相等

術語簡介

親和數是一種古老的數。

在遙遠的古代，人們發現某些自然數之間有特殊的關係：如果兩個數a和b，a的所有除本身以外的因數之和等於b，b的所有除本身以外的因數之和等於a，則稱a,b是一對親和數。

發現歷史

• 320年左右，古希臘畢達哥拉斯發現的220與284，是人類認識的第一對相親數。
• 約850年，阿拉伯數學家塔別脫·本·科拉就發現了相親數公式，後來稱為塔別脫·本·科拉法則。
• 1636年，費馬發現了另一對相親數：17296和18416。
• 1638年，笛卡兒也發現了一對相親數：9363584和9437056。
• 歐拉也研究過相親數這個課題。1750年，他一口氣向公眾拋出了60對相親數：2620和2924，5020和5564，6232和6368，……，從而引起了轟動。
• 1866年，年方16歲的義大利青年巴格尼尼發現1184與1210是僅僅比220與284稍為大一些的第二對相親數。
• 目前，人們已找到了12,000,000多對相親數。但相親數是否有無窮多對，相親數的兩個數是否都是或同是奇數，或同是偶數，而沒有一奇一偶等，這些問題還有待繼續探索。

首先發現220與284就是一對親和數，在以後的1500年間，世界上有很多數學家致力於探尋親和數，面對茫茫數海，無疑是大海撈針，雖經一代又一代人的窮思苦想，有些人甚至為此耗盡畢生心血，卻始終沒有收穫。公元九世紀，伊拉克哲學、醫學、天文學和物理學家泰比特·依本庫拉曾提出過一個求親和數的法則，因為他的公式比較繁雜，難以實際操作，再加上難以辨別真假，故它並沒有給人們帶來驚喜，或者走出困境。數學家們仍然沒有找到第二對親和數。直到費爾馬(P．de Fermat，1601-1665)才發現了另一對親和數：17296和18416。

十六世紀，已經有人認為自然數裡就僅有這一對親和數。有一些無聊之士，甚至給親和數抹上迷信色彩或者增添神秘感，編出了許許多多神話故事。還宣傳這對親和數在魔術、法術、占星術和占卦上都有重要作用等等。

畢達哥拉斯

據說，畢達哥拉斯(Pythagoras, 希臘文Πυθαγόρας，約前580年—前500年)的一個門徒向他提出這樣一個問題：“我結交朋友時，存在著數的作用嗎？”畢達哥拉斯毫不猶豫地回答：“朋友是你的靈魂的倩影，要像220和284一樣親密。”又說“什麼叫朋友？就像這兩個數，一個是你，另一個是我。”後來，畢氏學派宣傳說：人之間講友誼，數之間也有“相親相愛”。從此，把220和284叫做“親和數”或者叫“朋友數”或叫“相親數”。這就是關於“親和數”這個名稱來源的傳說。220和284是人類最早發現，又是最小的一對親和數。

費爾馬

距離第一對親和數誕生2500多年以後，歷史的車輪轉到十七世紀，1636年，法國“業餘數學家之王”費爾馬找到第二對親和數17296和18416，重新點燃尋找親和數的火炬，在黑暗中找到光明。兩年之後，“解析幾何之父”——法國數學家笛卡爾(René Descartes)於1638年3月31日也宣布找到了第三對親和數9437056和9363584。費馬和笛卡爾在兩年的時間裡，打破了二千多年的沉寂，激起了數學界重新尋找親和數的波濤。

在十七世紀以後的歲月，許多數學家投身到尋找新的親和數的行列，他們企圖用靈感與枯燥的計算發現新大陸。可是，無情的事實使他們省悟到，已經陷入了一座數學迷宮，不可能出現法國人的輝煌了。

正當數學家們真的感到絕望的時候，平地又起了一聲驚雷。1747年，年僅39歲的瑞士數學家歐拉竟向全世界宣布：他找到了30對親和數，後來又擴展到60對，不僅列出了親和數的數表，而且還公布了全部運算過程。

歐拉

歐拉採用了新的方法，將親和數劃分為五種類型加以討論。歐拉超人的數學思維，解開了令人止步2500多年的難題，使數學家拍案叫絕。

時間又過了120年，到了1867年，義大利有一個愛動腦筋，勤於計算的16歲中學生帕格尼尼（巴格尼尼），竟然發現數學大師歐拉的疏漏——讓眼皮下的一對較小的親和數1184和1210溜掉了。這戲劇性的發現使數學家如痴如醉。

麥達其

在以後的半個世紀的時間裡，人們在前人的基礎上，不斷更新方法，陸陸續續又找到了許多對親和數。到了1923年，數學家麥達其和葉維勒匯總前人研究成果與自己的研究所得，發表了1095對親和數，其中最大的數有25位。同年，另一個荷蘭數學家裡勒找到了一對有152位數的親和數。

在找到的這些親和數中，人們發現，親和數發現的個數越來越少，數位越來越大。同時，數學家還發現，若一對親和數的數值越大，則這兩個數之比越接近於1，這是親和數所具有的規律嗎？人們企盼著最終的結論。

電子計算機誕生以後，結束了筆算尋找親和數的歷史。有人在計算機上對所有100萬以下的數逐一進行了檢驗，總共找到了42對親和數，發現10萬以下數中僅有13對親和數。但因計算機功能與數學方法的不夠，目前還沒有重大突破，但是，尋找親和數未來正等待著不畏艱辛的數學家和計算機專家，同時，發現新的親和數的捷報也正等待著不畏艱辛的數學家和計算機專家。

奇親和數

人們還發現每一對奇親和數中都有3，5，7作為素因數。1968年波爾.布拉得利(P.Bratley)和約翰.邁凱(J.Mckay)提出：所有奇親和數都是能夠被3整除的。1988年巴蒂亞托(S.Battiato)和博霍(W.Borho)利用電子計算機找到了不能被3整除的奇親和數，從而推翻了布拉得利的猜想。他找到了15對都不能被3整除的奇親和數，最小的一對是：a=s*140453*85857199和　b=s*56099*214955207其中s=5^4*7^3*11^3*13^2*17^2*19*61^2*97*107.將各個因數乘起來　a=353804384422460183965044607821130625和b=353808169683169683168273495496273894069375.

它們都是36位大數。作為一個未解決的問題，巴蒂亞托等希望有人能找到最小的。另一個問題是是否存在一對奇親和數中有一個數不能被3整除。

還有一個歐拉提出的問題，是否存在一對親和數，其中有一個奇數，另一個是偶數？因為現在發現的所有奇偶親和數要么都是偶數，要么都是奇數。200多年來尚未解決。

研究

主要有兩方面：

(1)尋找新的親和數。

(2)尋找親和數的表達公式。

關於後一項工作，早在9世紀，阿拉伯的學者泰比特(TabitibnQorra)就提出了一個構造親和數的公式：

設 a=3*2^(x-1)-1, b=3*2^x-1,c=9*2^(2x-1)-1，這裡x是大於1的自然數，如果a、b、c全是素數的話。那么2*x*ab與2*x*c。便是一對相親和數。

例如，取x=2,得a=5,b=11,c=71,則2*2*5*11=220和2*2*71=284是一對親和數。

其他

• 在目前所有已知的情況下，相親數皆同為偶數或同為奇數。目前不知道一奇一偶的相親數是否存在，但若存在，則偶數必須為完全平方數或其兩倍，且奇數也必須是完全平方數。
• 目前已知存在7對具有不同的最小素因數的相親數。
• 在目前所有已知的情況下，相親數皆具有質公約數。目前不知道是否存在互素的相親數。若存在，兩者乘積必大於1067.
• 1955年，艾狄胥·帕爾（PaulErdős）說明相親數相對於正整數的密度為0。

舉例

例如220和284，1184和1210，2620和2924，5020和5564，6232和6368。

親和數列舉：

ans =

220 284

ans =

1184 1210

ans =

2620 2924

ans =

5020 5564

ans =

6232 6368

ans =

10744 10856

ans =

12285 14595

ans =

17296 18416

ans =

63020 76084

ans =

66928 66992

ans =

67095 71145

ans =

69615 87633

ans =

79750 88730

ans =

100485 124155

ans =

122265 139815

ans =

122368 123152

ans =

141664 153176

ans =

142310 168730

ans =

171856 176336

ans =

176272 180848

ans =

185368 203432

ans =

196724 202444

ans =

280540 365084

ans =

308620 389924

ans =

319550 430402

ans =

356408 399592

ans =

437456 455344

ans =

469028 486178

ans =

503056 514736

ans =

522405 525915

ans =

600392 669688

ans =

609928 686072

ans =

624184 691256

ans =

635624 712216

ans =

643336 652664

ans =

667964 783556

ans =

726104 796696

ans =

802725 863835

ans =

879712 901424

ans =

898216 980984

ans =

947835 1125765

ans =

998104 1043096

ans =

1077890 1099390

ans =

1154450 1189150

ans =

1156870 1292570

ans =

1175265 1438983

ans =

1185376 1286744

ans =

1280565 1340235

ans =

1328470 1483850

ans =

1358595 1486845

ans =

1392368 1464592

ans =

1466150 1747930

ans =

1468324 1749212

ans =

1511930 1598470

ans =

1669910 2062570

ans =

1798875 1870245

ans =

2082464 2090656

ans =

2236570 2429030

ans =

2652728 2941672

ans =

2723792 2874064

ans =

2728726 3077354

ans =

2739704 2928136

ans =

2802416 2947216

ans =

2803580 3716164

ans =

3276856 3721544

ans =

3606850 3892670

ans =

3786904 4300136

ans =

3805264 4006736

ans =

4238984 4314616

ans =

4246130 4488910

ans =

4259750 4445050

ans =

4482765 5120595

ans =

4532710 6135962

ans =

4604776 5162744

ans =

5123090 5504110

ans =

5147032 5843048

ans =

5232010 5799542

ans =

5357625 5684679

ans =

5385310 5812130

ans =

5459176 5495264

ans =

5726072 6369928

ans =

5730615 6088905

ans =

5864660 7489324

ans =

6329416 6371384

ans =

6377175 6680025

ans =

6955216 7418864

ans =

6993610 7158710

ans =

7275532 7471508

ans =

7288930 8221598

ans =

7489112 7674088

ans =

7577350 8493050

ans =

7677248 7684672

ans =

7800544 7916696

ans =

7850512 8052488

ans =

8262136 8369864

ans =

8619765 9627915

ans =

8666860 10638356

ans =

8754130 10893230

ans =

8826070 10043690

ans =

9071685 9498555

ans =

9199496 9592504

ans =

9206925 10791795

ans =

9339704 9892936

ans =

9363584 9437056

ans =

9478910 11049730

ans =

9491625 10950615

ans =

9660950 10025290

ans =

9773505 11791935

ans =

10254970 10273670

ans =

10533296 10949704

ans =

10572550 10854650

ans =

10596368 11199112

ans =

10634085 14084763

ans =

10992735 12070305

ans =

11173460 13212076

ans =

11252648 12101272

ans =

11498355 12024045

ans =

11545616 12247504

ans =

11693290 12361622

ans =

11905504 13337336

ans =

12397552 13136528

ans =

12707704 14236136

最長鏈：

14316 - 19116 - 31704 - 47616 - 83328 - 177792 - 295488 - 629072 - 589786 - 294896 - 358336 - 418904 - 366556 - 274924 - 275444 - 243760 - 376736 - 318028 - 285778 - 152990 - 122410 - 97946 - 48976 - 45946 - 22976 - 22744 - 19916 - 17716 - 14316

相關程式

用計算機編出的計算親和數的JAVA 程式

import java.util.ArrayList; import java.lang.Math; import java.lang.Double;

public class love_num {

public static void main(String[] args)

{

int intMain = 2;

int intBig = 0;

try

{

intBig = Integer.parseInt(args[0].toString());

}

catch (Exception e)

{

System.out.println("error:" + e);

System.out.println("type command like \"java love_num 50\"");

return;

}

while (true)

{

ArrayList listYakuSu1 = findYakuSu(intMain);

int intSum1 = addYakuSu(listYakuSu1);

//String strDebug = "";

//String strDebug2 = "";

if ( intSum1 == intMain )

{

System.out.println("self num:" + intSum1);

//for (int i = 0; i < listYakuSu1.size(); i ++)

//{

// strDebug += listYakuSu1.get(i);

// strDebug += ",";

//}

//System.out.println("YakuSu:" + strDebug);

}

else

{

ArrayList listYakuSu2 = findYakuSu(intSum1);

int intSum2 = addYakuSu(listYakuSu2);

if ( intSum2 == intMain )

{

System.out.println("love num:" + intMain + "--" + intSum1);

//for (int i = 0; i < listYakuSu1.size(); i ++)

//{

// strDebug += listYakuSu1.get(i);

// strDebug += ",";

//}

//System.out.println("YakuSu:" + strDebug);

//for (int i = 0; i < listYakuSu2.size(); i ++)

//{

// strDebug2 += listYakuSu2.get(i);

// strDebug2 += ",";

//}

//System.out.println("YakuSu:" + strDebug2);

}

}

intMain ++;

if (intMain > intBig)

{

return;

}

}

}

public static int addYakuSu (ArrayList listYakuSu)

{

//System.out.println("addYakuSu start ");

int sum = 0;

int temp = 0;

for (int i = 0; i < listYakuSu.size() ; i ++ )

{

temp = Integer.parseInt(listYakuSu.get(i).toString());

sum += temp;

}

//System.out.println("addYakuSu end " + sum);

//System.out.println("");

return (sum);

}

public static ArrayList findYakuSu (int intNum)

{

//String strDebug = "";

//System.out.println("findYakuSu start " + intNum);

ArrayList listYakuSu = new ArrayList();

double dbNum = (double)intNum;

double dbRoot = Math.sqrt(dbNum);

Double d = new Double(dbRoot);

int intRoot = d.intValue() ;

//System.out.println("root:" + intRoot);

// if (intHalf * 2 == intNum)

// {

// }

// else

// {

// intHalf ++;

// }

listYakuSu.add ("1");

for (int i = 2; i <= intRoot ; i ++)

{

int intPart = intNum/i;

if (intPart * i == intNum)

{

if (intPart == i)

{

listYakuSu.add (Integer.toString(i));

//strDebug += Integer.toString(i);

//strDebug += ",";

}

else

{

listYakuSu.add (Integer.toString(i));

listYakuSu.add (Integer.toString(intPart));

//strDebug += Integer.toString(i);

//strDebug += ",";

//strDebug += Integer.toString(intPart);

//strDebug += ",";

}

}

}

//System.out.println("findYakuSu end:1," + strDebug);

//System.out.println("");

return (listYakuSu);

}

}

用計算機編出的計算親和數的MATLAB程式

for a=2:1:100000000

t=1;

n=2;

s=sqrt(a);

s=fix(s);

if a==s^2

t=t+s;

end

while n<s

m=mod(a,n);

if m==0

t=t+n+a/n;

end

n=n+1;

end

if t>a

b=t;

l=1;

d=2;

p=sqrt(b);

p=fix(p);

if b==p^2

l=l+p;

end

while d<p

m=mod(b,d);

if m==0

l=l+d+b/d;

end

d=d+1;

end

if l==a

[a,b]

end

end

end

求a~b之間親和數的Free Pascal IDE程式

var

s,q,r,t,a,b:longint;

begin

read(a,b);

for a:=a to b do

begin

inc(s);

t:=0;

for r:=1 to s-1 do

if s mod r=0 then

t:=t+r;

q:=t;

t:=0;

for r:=1 to q-1 do

if q mod r=0 then

t:=t+r;

if (t=s)and(s<>q) then

if s<q then

writeln(s,' ',q);

end;

end.

用計算機編出的c++程式

#include <iostream>using namespace std;int divsum(int);const unsigned int INITNUM = 30000;int main(){    int num_1,num_2;    for (int num_1 = 1; num_1 < INITNUM; ++num_1)    {        num_2 = divsum(num_1);        if (num_1 != num_2)        {            if (num_1 == divsum(num_2))            {                cout<<num_1<<" "<<num_2<<endl;            }        }    }}int divsum(int x){    int sum = 0;    for( int i = 1 ; i < x ; ++i )    {        if( x % i == 0 )        {            sum += i;        }    }    return sum;}//    by Zing其他[編輯]在目前所有已知的情況下，相親數皆同為偶數或同為奇數。目前不知道一奇一偶的相親數是否存在，但若存在，則偶數必須為完全平方數或其兩倍，且奇數也必須是完全平方數。目前已知存在7對具有不同的最小素因數的相親數。在目前所有已知的情況下，相親數皆具有質公約數。目前不知道是否存在互素的相親數。若存在，兩者乘積必大於1067.1955年，艾狄胥·帕爾（PaulErdős）說明相親數相對於正整數的密度為0。