本書從經典的機率統計教程入手，結合作者本人的實際教學經驗，對板塊進行了梳理，體現了自己的教學特點，主要內容有隨機事件與機率（隨機事件及其運算、排列與組合、隨機事件的機率、機率的公理化定義及機率的性質、條件機率、事件的獨立性，具有較強的實用性，適合作為高校數學專業基礎課教材使用。
基本介紹
- 書名：西部數學規劃教材:機率統計引論
- 出版社：科學出版社
- 頁數：354頁
- 開本：16
- 品牌：科學出版社
- 作者：魏立力 馬江洪
- 出版日期：2012年2月1日
- 語種：簡體中文
- ISBN：7030334043, 9787030334046
內容簡介,文摘,
內容簡介
《機率統計引論》在內容安排上，包括初等機率論（第1～4章）、基本統計方法（第5～9章）以及Excel在機率統計中的套用，選材儘量做到聯繫不同專業的實際，注重套用的廣泛性；在具體行文中，注意循序漸進、深入淺出，突出對基本思想和基本概念的闡述，強調直觀理解的重要性，力求融入一些增強思想性、趣味性和實用性的新內容，體現求精、求變的指導原則；在例題和習題的選擇上，兼顧啟發性和代表性，涵蓋了很多經典的例子和近十年來的考研（數學一）題目，對於涉及的絕大部分數值計算問題，介紹了Excel解決方案。《機率統計引論》由魏立力，馬江洪，顏榮芳編著。
文摘
第1 章隨機事件與機率
1.1 隨機事件及其運算
1.1.1 必然現象與隨機現象
在自然界裡，在生產實踐和科學實驗中有許多現象，我們完全可以預言它們在一定條件下是否會出現；或者根據它過去的狀態，在相同條件下完全可以預言其將來的發展。我們把這一類現象稱為確定性現象或必然現象。例如：同性電荷相互排斥；在標準大氣壓下水加熱到100±C時會沸騰；在射擊時彈道完全由射擊的初始條件決定（假定空氣阻力等可以忽略）。早期的科學就是研究這類現象，所用的數學工具如數學分析、幾何、代數、微分方程等是大家所熟悉的。
然而人們還發現有許多現象，它們在一定條件下可能出現也可能不出現；或者知道它過去的狀態，在相同的條件下，未來的發展卻事先不能完全肯定。我們稱這種類型的現象為偶然性現象或隨機現象。例如：拋擲一枚硬幣，結果可能是正面向上，或背面向上；遠距離射擊較小的目標，可能擊中，也可能擊不中；明年某地七月間的平均溫度事前不能肯定；當空氣阻力等不能忽略時，彈道不能根據初始條件完全確定。
在事物的聯繫和發展過程中，隨機現象是客觀存在的。但是，表面上是偶然性在起作用，實際上這種偶然性又是由事物內部隱藏著的必然性所決定的。事實上，無數的偶然性表現出某種必然性。
例1.1.1 拋擲質地均勻而對稱的硬幣，在相同條件下拋擲多次，正面和背面出現的次數之比總是近似為1：1，而且拋擲次數越多，越接近這個比值。歷史上，很多學者都做過試驗：Demorgan擲過2048次，得到1061次正面；Bu?on擲過4040次，得到2048次正面；Pearson擲過24000次，得到12012次正面。
例1.1.2 通過研究氣體的性質我們知道，氣體是由數目眾多的分子構成，這些分子以很快的速度做劇烈的運動且相互碰撞而改變其動量和方向，每個分子的運動狀態是隨機現象。而大量的分子運動呈現出的總體現象|| 溫度和壓強卻符合波意耳（Boyle）定律。
科學的任務就在於，要從看起來錯綜複雜的偶然性中揭示出潛在的必然性，即事物的客觀規律性。這種客觀規律性是在大量現象中發現的，我們稱其為統計規律性。機率論與統計學是研究和揭示隨機現象的統計規律性的一門學科。
1.1.2 隨機試驗和樣本空間
我們將對自然現象的一次觀察或進行一次科學試驗統稱為試驗（experiment）。如果一個試驗滿足下述三個條件，則稱其為隨機試驗（random experiment）。
（a）試驗可以在相同的條件下重複進行；
（b）試驗的所有可能結果是明確可知的，並且不止一個；
（c）每次試驗總是恰好出現這些結果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現哪個結果。
以後我們所說的試驗都指隨機試驗。
試驗的每一個可能結果稱為隨機事件（random event），簡稱為事件（event），一般用字母A；B；C；￠￠￠等表示。
例1.1.3 從0；1；2；3；￠￠￠；9 十個數字中任意選取一個，可有十種不同的結果：Ai表示“取得一個數是i”，i=0；1；2；￠￠￠；9。但還有其他可能的結果。如B表示“取一個數是奇數”，C表示“取得一個大於6的數”。
我們把不能或不必再分的事件稱為基本事件（elementary event）。如例1.1.3中的A0，A1，A2，￠￠￠，A9都是基本事件。由若干基本事件組合而成的事件稱為複合事件（compoundevent）。如例1.1.3中的C由A7；A8；A9三個基本事件複合而成。
基本事件的全體稱為基本事件空間（elementary event space）或樣本空間（sample space），通常用字母-表示。如果我們用一個單點集f！g表示一個基本事件，則樣本空間就是所有基本事件對應的元素所組成的集合。我們也稱樣本空間中的每一個元素為樣本點。
需要說明的是，樣本空間的元素，即樣本點，是抽象的點，可以是數，也可以不是數；而且一個樣本空間至少有兩個樣本點，僅含兩個樣本點的樣本空間是最簡單的樣本空間。
這樣一來，隨機事件就可以理解為樣本空間的子集，基本事件就是樣本空間的單點子集。如例1.1.3 中的Ai=fig；i=0；1；2；￠￠￠；9；-=f0；1；2；￠￠￠；9g；B=f1；3；5；7；9g；C=f7；8；9g。
例1.1.4 考慮擲兩枚骰子的試驗，則樣本空間由下列36個點組成：
8>
>>>>>>>>>：
（1；1）；（1；2）；（1；3）；（1；4）；（1；5）；（1；6）
（2；1）；（2；2）；（2；3）；（2；4）；（2；5）；（2；6）
（3；1）；（3；2）；（3；3）；（3；4）；（3；5）；（3；6）
（4；1）；（4；2）；（4；3）；（4；4）；（4；5）；（4；6）
（5；1）；（5；2）；（5；3）；（5；4）；（5；5）；（5；6）
（6；1）；（6；2）；（6；3）；（6；4）；（6；5）；（6；6）
9>
>>>>=>>>>>；此處結果（i；j）稱為發生，是指第一枚骰子擲出i，第二枚骰子擲出j。如果E是“兩枚骰子點數之和為7”，則E=f（1；6）；（2；5）；（3；4）；（4；3）；（5；2）；（6；1）g。
例1.1.5 投擲一枚硬幣，直到首次觀測到正面出現為止。由於正面首次出現可能在第一次投擲中，可能在第二次投擲中，也可能在第三次投擲中，等等。當然，也可能永遠不出現。因此，樣本空間有無窮多個樣本點：-=f正；反正；反反正；反反反正；￠￠￠g。
根據樣本空間所含元素的個數，可以將樣本空間分為兩類：可數和不可數。上述例1.1.3、例1.1.4、例1.1.5 中的樣本空間都是可數的。而電子產品壽命的樣本空間ft：t>0g以及測量誤差的樣本空間fx：?1 例1.1.6 投擲兩枚硬幣觀察所出現的面，則基本事件有四個：f（正，正）g，f（正，反）g，f（反，正）g，f（反，反）g。如果試驗的目的是為了觀察正面出現的次數，則基本事件有三個：f正面未出現g，f正面出現一次g，f正面出現兩次g。
1.1.3 隨機事件的關係和運算
如前所述，隨機事件是隨機試驗的可能結果，是相應的樣本空間的子集，因而隨機事件的關係和運算實質上是集合的關係和運算。
首先討論兩個特殊的隨機事件：必然事件和不可能事件。在一定條件下必然發生的事件稱為必然事件（certain event）；必然不發生的事件稱為不可能事件（impossible event）。
將必然事件和不可能事件仍然看做隨機事件是為了敘述上的方便。作為樣本空間的子集，必然事件和不可能事件分別對應著樣本空間-本身和空集?。因而我們仍用-和？分別表示必然事件和不可能事件。
其次需要指出的是，一個事件A發生的含義是指，在試驗中，出現了A中所包含的某一個基本事件。
（一）事件的包含關係（containment）
如果事件A發生必然導致事件B發生，則稱事件A包含於事件B，或稱事件B包含事件A，記為AμB。事件作為樣本點的集合，A含於B即為A是B的子集。如在例1.1.3中，A1μB，A7μC。
如果AμB，且BμA，則稱事件A和B相等（equality），記作A=B。
（二）事件的並（union）
“事件A與B中至少有一個發生”這一事件稱為事件A與B的並事件，簡稱為並，記作A[B。作為樣本點集合的事件，A[B即為A和B的並集。即A[B=f！：！2A或！2Bg：如在例1.1.3中，B[C表示“取出一數或者大於6，或者是奇數”，也就是“取得一數為1，3，5，7，8，9中之一數”。換言之，只要取得1，3，5，7，8，9六個數任何一數。我們都說事件B[C發生了。
（三）事件的交（intersection）
“事件A與B同時發生”這一事件稱為事件A與B的交事件，簡稱為交，記作A\B（或簡記為AB）。作為樣本點集合的事件，A\B即為A和B的交集。即A\B=f！：！2A且！2Bg：如在例1.1.3中，B\C表示“取得一數為7或9”。
（四）事件的差（di?erence）
“事件A發生並且事件B不發生”這一事件稱為事件A與B的差事件，簡稱為差，記作A？B。作為樣本點集合的事件，A？B即為A和B的差集。即A？B=f！：！2A且！=2Bg：如在例1.1.3中，B？C表示“取得一數或為1，或為3，或為5”。
（五）互不相容（mutually exclusive）關係和對立（complementary）關係如果事件A與B不能同時發生，即AB=?，則稱事件A與B互不相容或不交（disjoint）。如例1.1.3中，A1與C互不相容。今後我們說三個或三個以上的事件互不相容是指兩兩不交（pairwise disjoint）。
如果事件A與B不能同時發生，並且必然有一個發生，即AB=?，且A[B=-，則稱事件A與B互為對立事件，或互為逆事件（inverse event），記作Ac=B或Bc=A。
即Ac=f！：！ =2 Ag：
如例1.1.3 中，事件B的逆事件Bc 表示“取得一數為偶數（包括0）”。
作為樣本點的集合，兩個事件A與B互不相容即A和B無公共樣本點；兩個事件A與B互為逆事件即A和B無公共樣本點，並且A和B包含了所有的樣本點，也就是說A和Ac 構成了對樣本空間的一個“劃分”（partition）。
（六）兩個事件的對稱差（symmetric di?erence）
“事件A，B恰有一個發生”這一事件稱為事件A與B的對稱差事件，簡稱為對稱差，記作A4B。作為樣本點集合的事件，A4B即A和B的對稱差集。即A4B=（ABc）[（AcB）=（A[B）？（AB）：
例1.1.7 設A；B；C 是同一樣本空間的三個事件，則
（1）事件“A和B發生，C不發生”可以表示為：A\B\Cc；
（2）事件“A、B、C至少有一個不發生”可以表示為：Ac[Bc[Cc=（ABC）c；
（3）事件“A、B、C有兩個發生”可以表示為：AB[BC[CA；
（4）事件“A、B、C至少恰好有兩個發生”可以表示為：ABCc[ABcC[AcBC；
（5）事件“A、B、C都不發生”可以表示為：AcBcCc。
事實上，集合論的知識用於解釋事件之間的關係和運算是非常自然的。韋恩圖（Venndiagram）是一種用來描述事件之間的邏輯關係的非常有效的幾何表示方法。樣本空間表示為平面上一矩形，表示包含了所有可能的結果，事件A，B等表示為包含在矩形之內的一個個小圓形，所關心的事件用相應的陰影區域來表示。事件的關係和運算可通過韋恩圖表示，如圖1.1所示。
有時我們還需要把事件的並與交運算推廣到可數無窮多個事件的情形。對可數個事件A1；A2；￠￠￠，我們規定它們的並
A1[A2[￠￠￠=
1[i=1
Ai
表示“A1；A2；￠￠￠中至少有一個事件發生”；規定它們的交
A1\A2\￠￠￠=
1\i=1
Ai
表示“A1；A2；￠￠￠同時發生”。
上極限和下極限也是機率論中的兩個重要概念。對可數個事件A1；A2；￠￠￠，我們規定
它們的上極限事件
lim sup
n！1
An=
1\i=1
1[n=i
An
表示“A1；A2；￠￠￠中有無窮多個事件發生”；規定它們的下極限事件
lim inf
n！1
An =
1[i=1
1\n=i
An
表示“A1；A2；￠￠￠中至多有有限個事件不發生”。下面解釋它們的意義。
對於上極限事件，有
！ 2
1\i=1
1[n=i
An）8i2N；！2
1[n=i
An（）8i2N；9ni>i；使得！2Ani
（）！2A1；A2；￠￠￠中無窮多個：
類似地，對於下極限事件，有
！2
1[i=1
1\n=i
An（）9i2N；！2
1\n=i
An（）9i2N；8n>i；都有！2An
（）！至多不屬於A1；A2；￠￠￠中的有限個：
由於“A1；A2；￠￠￠中至多有有限個事件不發生”顯然蘊含了“A1；A2；￠￠￠中有無窮多個事件發生”，因而有如下關係：
lim inf
n！1
An μ lim sup
n！1
An：
不難驗證事件間的運算滿足如下運算律：
（1）交換律（commutative law）A[B=B[A；A\B=B\A；
（2）結合律（associativelaw）A[（B[C）=（A[B）[C；A\（B\C）=（A\B）\C；
（3）分配律（distributivelaw）A\（B[C）=（A\B）[（A\C），
A[（B\C）=（A[B）\（A[C）；
（4）對偶律（duality law或DeMorgan's law）對有限或無窮多個Ai，都有
3[i
Ai′c
=\i
（Ai）c；3\i
Ai′c
=[i
（Ai）c；
（5）A？B=A\Bc=A？（AB）；
（6）（Ac）c=A；Ac=-？A。
1.2 排列與組合
正確計數對於計算機率十分重要，本節就先講一些有關計數的基本知識。本節內容是初等數學中排列與組合的回顧與提高。
計數問題往往比較複雜，我們在處理時通常要附加一些約束。解決複雜計數問題的方法是將它分解成若干簡單、易於計算的子問題，然後再利用已知的規則將子問題整合起來。而上述過程的第一步通常都基於如下兩條計數原理。
（1）乘法原理如果某件事情需要經過k個步驟完成，第一步有m1種方法，第二步有m2種方法，￠￠￠，第k步有mk種方法，那么完成這件事共有m1￡m2￡￠￠￠￡mk種方法。
乘法原理是將一個複雜問題看成幾個子問題的串聯，特徵是分步。譬如，甲地到乙地有3條路可走，乙地到丙地有2條路可走，那么從甲地經乙地到丙地共有2￡3=6條路可走。
（2）加法原理如果某件事情可由k類不同途徑之一去完成，第一類途徑中有m1種完成方法，第二類途徑中有m2種完成方法，￠￠￠，第k類途徑中有mk種完成方法，那么完成這件事共有m1+m2+￠￠￠+mk種方法。
加法原理是將一個複雜問題看成幾個子問題的並聯，特徵是分類。譬如，甲地到乙地有3類交通工具可選：汽車、火車和飛機。而汽車有5個班次，火車有3個班次，飛機有2個班次，那么從甲地到乙地共有5+3+2=10個班次可供選擇。
1.2.1 排列組合的基本模式
排列與組合都是解決“從n個元素中任取r（6n）個元素”的取法計數問題。主要區別在於前者講究取出元素的次序，後者不考慮次序。
一般地，從n個不同元素中取出r（6n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出r（6n）個元素的一個排列（permutation或arrangement）。從n個不同元素中取出r（6n）個元素的所有不同排列的個數叫做從n個不同元素中取出r（6n）個元素的排列數，用符號Prn（或Arn）表示，且有
Pr
n=n！
（n？r）！：
從n個不同元素中取出r（6n）個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出r（6n）個元素的一個組合（combination）。從n個不同元素中取出r（6n）個元素的所有不同組合
的個數叫做從n個不同元素中取出r（6n）個元素的組合數，用符號Crn（或?nr￠）表示，且有
Cr
n=n！
r！（n？r）！
=Pr
n
r！：
顯然，利用組合本身的意義解釋（當然也可以直接推導），可以驗證如下組合恆等式：
Cr
n=Cn?r
n；（1.2.1）
Cr
n+1=Cr
n+Cr?1
n；（1.2.2）
Cr
n+m=C0
nCr
m+C1
nCr?1
m+￠￠￠+Cr
nC0
m；（1.2.3）
1.1 隨機事件及其運算
1.1.1 必然現象與隨機現象
在自然界裡，在生產實踐和科學實驗中有許多現象，我們完全可以預言它們在一定條件下是否會出現；或者根據它過去的狀態，在相同條件下完全可以預言其將來的發展。我們把這一類現象稱為確定性現象或必然現象。例如：同性電荷相互排斥；在標準大氣壓下水加熱到100±C時會沸騰；在射擊時彈道完全由射擊的初始條件決定（假定空氣阻力等可以忽略）。早期的科學就是研究這類現象，所用的數學工具如數學分析、幾何、代數、微分方程等是大家所熟悉的。
然而人們還發現有許多現象，它們在一定條件下可能出現也可能不出現；或者知道它過去的狀態，在相同的條件下，未來的發展卻事先不能完全肯定。我們稱這種類型的現象為偶然性現象或隨機現象。例如：拋擲一枚硬幣，結果可能是正面向上，或背面向上；遠距離射擊較小的目標，可能擊中，也可能擊不中；明年某地七月間的平均溫度事前不能肯定；當空氣阻力等不能忽略時，彈道不能根據初始條件完全確定。
在事物的聯繫和發展過程中，隨機現象是客觀存在的。但是，表面上是偶然性在起作用，實際上這種偶然性又是由事物內部隱藏著的必然性所決定的。事實上，無數的偶然性表現出某種必然性。
例1.1.1 拋擲質地均勻而對稱的硬幣，在相同條件下拋擲多次，正面和背面出現的次數之比總是近似為1：1，而且拋擲次數越多，越接近這個比值。歷史上，很多學者都做過試驗：Demorgan擲過2048次，得到1061次正面；Bu?on擲過4040次，得到2048次正面；Pearson擲過24000次，得到12012次正面。
例1.1.2 通過研究氣體的性質我們知道，氣體是由數目眾多的分子構成，這些分子以很快的速度做劇烈的運動且相互碰撞而改變其動量和方向，每個分子的運動狀態是隨機現象。而大量的分子運動呈現出的總體現象|| 溫度和壓強卻符合波意耳（Boyle）定律。
科學的任務就在於，要從看起來錯綜複雜的偶然性中揭示出潛在的必然性，即事物的客觀規律性。這種客觀規律性是在大量現象中發現的，我們稱其為統計規律性。機率論與統計學是研究和揭示隨機現象的統計規律性的一門學科。
1.1.2 隨機試驗和樣本空間
我們將對自然現象的一次觀察或進行一次科學試驗統稱為試驗（experiment）。如果一個試驗滿足下述三個條件，則稱其為隨機試驗（random experiment）。
（a）試驗可以在相同的條件下重複進行；
（b）試驗的所有可能結果是明確可知的，並且不止一個；
（c）每次試驗總是恰好出現這些結果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現哪個結果。
以後我們所說的試驗都指隨機試驗。
試驗的每一個可能結果稱為隨機事件（random event），簡稱為事件（event），一般用字母A；B；C；￠￠￠等表示。
例1.1.3 從0；1；2；3；￠￠￠；9 十個數字中任意選取一個，可有十種不同的結果：Ai表示“取得一個數是i”，i=0；1；2；￠￠￠；9。但還有其他可能的結果。如B表示“取一個數是奇數”，C表示“取得一個大於6的數”。
我們把不能或不必再分的事件稱為基本事件（elementary event）。如例1.1.3中的A0，A1，A2，￠￠￠，A9都是基本事件。由若干基本事件組合而成的事件稱為複合事件（compoundevent）。如例1.1.3中的C由A7；A8；A9三個基本事件複合而成。
基本事件的全體稱為基本事件空間（elementary event space）或樣本空間（sample space），通常用字母-表示。如果我們用一個單點集f！g表示一個基本事件，則樣本空間就是所有基本事件對應的元素所組成的集合。我們也稱樣本空間中的每一個元素為樣本點。
需要說明的是，樣本空間的元素，即樣本點，是抽象的點，可以是數，也可以不是數；而且一個樣本空間至少有兩個樣本點，僅含兩個樣本點的樣本空間是最簡單的樣本空間。
這樣一來，隨機事件就可以理解為樣本空間的子集，基本事件就是樣本空間的單點子集。如例1.1.3 中的Ai=fig；i=0；1；2；￠￠￠；9；-=f0；1；2；￠￠￠；9g；B=f1；3；5；7；9g；C=f7；8；9g。
例1.1.4 考慮擲兩枚骰子的試驗，則樣本空間由下列36個點組成：
8>
>>>>>>>>>：
（1；1）；（1；2）；（1；3）；（1；4）；（1；5）；（1；6）
（2；1）；（2；2）；（2；3）；（2；4）；（2；5）；（2；6）
（3；1）；（3；2）；（3；3）；（3；4）；（3；5）；（3；6）
（4；1）；（4；2）；（4；3）；（4；4）；（4；5）；（4；6）
（5；1）；（5；2）；（5；3）；（5；4）；（5；5）；（5；6）
（6；1）；（6；2）；（6；3）；（6；4）；（6；5）；（6；6）
9>
>>>>=>>>>>；此處結果（i；j）稱為發生，是指第一枚骰子擲出i，第二枚骰子擲出j。如果E是“兩枚骰子點數之和為7”，則E=f（1；6）；（2；5）；（3；4）；（4；3）；（5；2）；（6；1）g。
例1.1.5 投擲一枚硬幣，直到首次觀測到正面出現為止。由於正面首次出現可能在第一次投擲中，可能在第二次投擲中，也可能在第三次投擲中，等等。當然，也可能永遠不出現。因此，樣本空間有無窮多個樣本點：-=f正；反正；反反正；反反反正；￠￠￠g。
根據樣本空間所含元素的個數，可以將樣本空間分為兩類：可數和不可數。上述例1.1.3、例1.1.4、例1.1.5 中的樣本空間都是可數的。而電子產品壽命的樣本空間ft：t>0g以及測量誤差的樣本空間fx：?1 例1.1.6 投擲兩枚硬幣觀察所出現的面，則基本事件有四個：f（正，正）g，f（正，反）g，f（反，正）g，f（反，反）g。如果試驗的目的是為了觀察正面出現的次數，則基本事件有三個：f正面未出現g，f正面出現一次g，f正面出現兩次g。
1.1.3 隨機事件的關係和運算
如前所述，隨機事件是隨機試驗的可能結果，是相應的樣本空間的子集，因而隨機事件的關係和運算實質上是集合的關係和運算。
首先討論兩個特殊的隨機事件：必然事件和不可能事件。在一定條件下必然發生的事件稱為必然事件（certain event）；必然不發生的事件稱為不可能事件（impossible event）。
將必然事件和不可能事件仍然看做隨機事件是為了敘述上的方便。作為樣本空間的子集，必然事件和不可能事件分別對應著樣本空間-本身和空集?。因而我們仍用-和？分別表示必然事件和不可能事件。
其次需要指出的是，一個事件A發生的含義是指，在試驗中，出現了A中所包含的某一個基本事件。
（一）事件的包含關係（containment）
如果事件A發生必然導致事件B發生，則稱事件A包含於事件B，或稱事件B包含事件A，記為AμB。事件作為樣本點的集合，A含於B即為A是B的子集。如在例1.1.3中，A1μB，A7μC。
如果AμB，且BμA，則稱事件A和B相等（equality），記作A=B。
（二）事件的並（union）
“事件A與B中至少有一個發生”這一事件稱為事件A與B的並事件，簡稱為並，記作A[B。作為樣本點集合的事件，A[B即為A和B的並集。即A[B=f！：！2A或！2Bg：如在例1.1.3中，B[C表示“取出一數或者大於6，或者是奇數”，也就是“取得一數為1，3，5，7，8，9中之一數”。換言之，只要取得1，3，5，7，8，9六個數任何一數。我們都說事件B[C發生了。
（三）事件的交（intersection）
“事件A與B同時發生”這一事件稱為事件A與B的交事件，簡稱為交，記作A\B（或簡記為AB）。作為樣本點集合的事件，A\B即為A和B的交集。即A\B=f！：！2A且！2Bg：如在例1.1.3中，B\C表示“取得一數為7或9”。
（四）事件的差（di?erence）
“事件A發生並且事件B不發生”這一事件稱為事件A與B的差事件，簡稱為差，記作A？B。作為樣本點集合的事件，A？B即為A和B的差集。即A？B=f！：！2A且！=2Bg：如在例1.1.3中，B？C表示“取得一數或為1，或為3，或為5”。
（五）互不相容（mutually exclusive）關係和對立（complementary）關係如果事件A與B不能同時發生，即AB=?，則稱事件A與B互不相容或不交（disjoint）。如例1.1.3中，A1與C互不相容。今後我們說三個或三個以上的事件互不相容是指兩兩不交（pairwise disjoint）。
如果事件A與B不能同時發生，並且必然有一個發生，即AB=?，且A[B=-，則稱事件A與B互為對立事件，或互為逆事件（inverse event），記作Ac=B或Bc=A。
即Ac=f！：！ =2 Ag：
如例1.1.3 中，事件B的逆事件Bc 表示“取得一數為偶數（包括0）”。
作為樣本點的集合，兩個事件A與B互不相容即A和B無公共樣本點；兩個事件A與B互為逆事件即A和B無公共樣本點，並且A和B包含了所有的樣本點，也就是說A和Ac 構成了對樣本空間的一個“劃分”（partition）。
（六）兩個事件的對稱差（symmetric di?erence）
“事件A，B恰有一個發生”這一事件稱為事件A與B的對稱差事件，簡稱為對稱差，記作A4B。作為樣本點集合的事件，A4B即A和B的對稱差集。即A4B=（ABc）[（AcB）=（A[B）？（AB）：
例1.1.7 設A；B；C 是同一樣本空間的三個事件，則
（1）事件“A和B發生，C不發生”可以表示為：A\B\Cc；
（2）事件“A、B、C至少有一個不發生”可以表示為：Ac[Bc[Cc=（ABC）c；
（3）事件“A、B、C有兩個發生”可以表示為：AB[BC[CA；
（4）事件“A、B、C至少恰好有兩個發生”可以表示為：ABCc[ABcC[AcBC；
（5）事件“A、B、C都不發生”可以表示為：AcBcCc。
事實上，集合論的知識用於解釋事件之間的關係和運算是非常自然的。韋恩圖（Venndiagram）是一種用來描述事件之間的邏輯關係的非常有效的幾何表示方法。樣本空間表示為平面上一矩形，表示包含了所有可能的結果，事件A，B等表示為包含在矩形之內的一個個小圓形，所關心的事件用相應的陰影區域來表示。事件的關係和運算可通過韋恩圖表示，如圖1.1所示。
有時我們還需要把事件的並與交運算推廣到可數無窮多個事件的情形。對可數個事件A1；A2；￠￠￠，我們規定它們的並
A1[A2[￠￠￠=
1[i=1
Ai
表示“A1；A2；￠￠￠中至少有一個事件發生”；規定它們的交
A1\A2\￠￠￠=
1\i=1
Ai
表示“A1；A2；￠￠￠同時發生”。
上極限和下極限也是機率論中的兩個重要概念。對可數個事件A1；A2；￠￠￠，我們規定
它們的上極限事件
lim sup
n！1
An=
1\i=1
1[n=i
An
表示“A1；A2；￠￠￠中有無窮多個事件發生”；規定它們的下極限事件
lim inf
n！1
An =
1[i=1
1\n=i
An
表示“A1；A2；￠￠￠中至多有有限個事件不發生”。下面解釋它們的意義。
對於上極限事件，有
！ 2
1\i=1
1[n=i
An）8i2N；！2
1[n=i
An（）8i2N；9ni>i；使得！2Ani
（）！2A1；A2；￠￠￠中無窮多個：
類似地，對於下極限事件，有
！2
1[i=1
1\n=i
An（）9i2N；！2
1\n=i
An（）9i2N；8n>i；都有！2An
（）！至多不屬於A1；A2；￠￠￠中的有限個：
由於“A1；A2；￠￠￠中至多有有限個事件不發生”顯然蘊含了“A1；A2；￠￠￠中有無窮多個事件發生”，因而有如下關係：
lim inf
n！1
An μ lim sup
n！1
An：
不難驗證事件間的運算滿足如下運算律：
（1）交換律（commutative law）A[B=B[A；A\B=B\A；
（2）結合律（associativelaw）A[（B[C）=（A[B）[C；A\（B\C）=（A\B）\C；
（3）分配律（distributivelaw）A\（B[C）=（A\B）[（A\C），
A[（B\C）=（A[B）\（A[C）；
（4）對偶律（duality law或DeMorgan's law）對有限或無窮多個Ai，都有
3[i
Ai′c
=\i
（Ai）c；3\i
Ai′c
=[i
（Ai）c；
（5）A？B=A\Bc=A？（AB）；
（6）（Ac）c=A；Ac=-？A。
1.2 排列與組合
正確計數對於計算機率十分重要，本節就先講一些有關計數的基本知識。本節內容是初等數學中排列與組合的回顧與提高。
計數問題往往比較複雜，我們在處理時通常要附加一些約束。解決複雜計數問題的方法是將它分解成若干簡單、易於計算的子問題，然後再利用已知的規則將子問題整合起來。而上述過程的第一步通常都基於如下兩條計數原理。
（1）乘法原理如果某件事情需要經過k個步驟完成，第一步有m1種方法，第二步有m2種方法，￠￠￠，第k步有mk種方法，那么完成這件事共有m1￡m2￡￠￠￠￡mk種方法。
乘法原理是將一個複雜問題看成幾個子問題的串聯，特徵是分步。譬如，甲地到乙地有3條路可走，乙地到丙地有2條路可走，那么從甲地經乙地到丙地共有2￡3=6條路可走。
（2）加法原理如果某件事情可由k類不同途徑之一去完成，第一類途徑中有m1種完成方法，第二類途徑中有m2種完成方法，￠￠￠，第k類途徑中有mk種完成方法，那么完成這件事共有m1+m2+￠￠￠+mk種方法。
加法原理是將一個複雜問題看成幾個子問題的並聯，特徵是分類。譬如，甲地到乙地有3類交通工具可選：汽車、火車和飛機。而汽車有5個班次，火車有3個班次，飛機有2個班次，那么從甲地到乙地共有5+3+2=10個班次可供選擇。
1.2.1 排列組合的基本模式
排列與組合都是解決“從n個元素中任取r（6n）個元素”的取法計數問題。主要區別在於前者講究取出元素的次序，後者不考慮次序。
一般地，從n個不同元素中取出r（6n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出r（6n）個元素的一個排列（permutation或arrangement）。從n個不同元素中取出r（6n）個元素的所有不同排列的個數叫做從n個不同元素中取出r（6n）個元素的排列數，用符號Prn（或Arn）表示，且有
Pr
n=n！
（n？r）！：
從n個不同元素中取出r（6n）個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出r（6n）個元素的一個組合（combination）。從n個不同元素中取出r（6n）個元素的所有不同組合
的個數叫做從n個不同元素中取出r（6n）個元素的組合數，用符號Crn（或?nr￠）表示，且有
Cr
n=n！
r！（n？r）！
=Pr
n
r！：
顯然，利用組合本身的意義解釋（當然也可以直接推導），可以驗證如下組合恆等式：
Cr
n=Cn?r
n；（1.2.1）
Cr
n+1=Cr
n+Cr?1
n；（1.2.2）
Cr
n+m=C0
nCr
m+C1
nCr?1
m+￠￠￠+Cr
nC0
m；（1.2.3）
