“螞蟻與橡皮繩悖論”是一道讓你的直覺經受考驗的數學趣題．問題是這樣的：一隻螞蟻沿著一條長100米的橡皮繩以每秒1厘米的勻速由一端向另一端爬行．每過1秒鐘，橡皮繩就拉長100米，比如 10秒後，橡皮繩就伸長為：100+10×100=1100米了．當然，這個問題是純數學化的，既假定橡皮繩可任意拉長，並且拉伸是均勻的．螞蟻也會不知疲倦地一直往前爬，在繩子均勻拉長時，螞蟻的位置理所當然地相應均勻向前挪動．現在要問，如此下去，螞蟻能否最終爬到橡皮繩的另一端？
也許你會認為，螞蟻爬行的那點可憐的路程遠遠趕不上橡皮繩成萬倍的不斷拉長，只怕是離終點越來越遠吧！但是千真萬確，螞蟻爬到了終點，奇怪嗎？
基本介紹
- 中文名：螞蟻與橡皮繩悖論
- 悖論：蘊涵著豐富的思想內容
- 悖論的特證：悖論是一個命題
- Euler(歐拉)：獲得了調和級數有限多項和的值
什麼是悖論,悖論的特證,推導過程,
什麼是悖論
悖論具體是指：由一個被承認是真的命題為前提，設為B，進行正確的邏輯推理後，得出一個與前提互為矛盾命題的結論非B；反之，以非B為前提，亦可推得B。那么命題B就是一個悖論。
悖論當然是蘊涵著豐富的思想內容的。本文不準備詳談。對於悖論，最容易誤解的原因就是望文生義。看到悖論這個名詞里有一個“論”字，就以為悖論的形式就是一段言論或理論；或者認為悖論是一種推論（也即推理過程）；或者把把悖論當成推理結果的結論。其實不然。至於那種自以為是，一知半解，不懂裝懂的人，胡亂地把亂七八糟自相矛盾的謬論當成是邏輯學中的悖論，那就不是誤解的問題了。
悖論的特證
① 悖論是一個命題。
② 是被承認作為前提的一個真命題；
③ 以上述真命題為前提，進行正確的邏輯推理；
④ 結論是一個與前提互相矛盾的命題（理所當然也應該承認是一個真命題）。
推導過程
現在讓我們看一下推導過程（只需懂得積分即可）
1、如果把橡皮筋的全長定為1，那么不管橡皮筋拉多長，都是1,拉長的結果是讓螞蟻的速度下降為原來的100/(100+100t)=1/(1+t)
2、螞蟻的初速度是全長的0.01/（100）=1/10000-=0.0001,(按全長為1來定即走過全長的萬分之一)
3螞蟻在t時刻的速度是0.0001*(1/(1+t))=0.0001/(1+t)
4、則螞蟻在微小的時間段dt內走過的路是 (0.0001/(1+t))dt
5、則螞蟻從0時刻走到t時刻的路程為∫(0.0001/(1+t))dt
從0到t積分因為∫(0.0001/(1+t))dt=0.0001*ln(1+t)
所以螞蟻走過的路程為 0.0001ln(1+t)-0.0001ln(1+0)=0.0001ln(1+t)
因為全長定為1，令上式=1 0.0001ln(1+t)=1
解這個方程 1+t=e^10000
t=(e^10000)-1=3.122*10^4343秒=1.0*10^4335年
此問題相當於調和級數求和。
我們今天發現的調和級數悖論則是芝諾悖論（阿基里斯追不上烏龜）的又一個很巧妙的翻版。
1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r為常量)
r的值，約為0.577218。這個數字就是後來稱作的歐拉常數。
