基本介紹
- 中文名：歐拉常數
- 外文名：Euler–Mascheroni constant
- 提出：萊昂哈德·歐拉
- 符號：γ
- 領域：數學
- 全名：歐拉-馬歇羅尼常數
簡介,概述,性質,與伽瑪函式的關係,與黎曼函式的關係,積分,級數展開式,連分數展開式,漸近展開式,已知位數,計算方法,
簡介
歐拉常數最先由瑞士數學家萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)在1735年發表的文章 De Progressionibus harmonicus observationes 中定義。歐拉曾經使用C作為它的符號，並計算出了它的前6位小數。1761年他又將該值計算到了16位小數。1790年，義大利數學家馬歇羅尼（Lorenzo Mascheroni)引入了γ作為這個常數的符號，並將該常數計算到小數點後32位。但後來的計算顯示他在第20位的時候出現了錯誤。歐拉數以世界著名數學家歐拉名字命名；還有一個鮮為人知的名字納皮爾常數，用來紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾 (John Napier) 引進對數。
概述
歐拉常數（Euler-Mascheroni constant)
著名數學家萊昂哈德·歐拉（1707-1783）
著名數學家萊昂哈德·歐拉（1707-1783）
由無窮級數理論可知，調和級數
是發散的。但可以證明，
性質
與伽瑪函式的關係
與黎曼函式的關係
積分
級數展開式
連分數展開式
漸近展開式
已知位數
歐拉常數約為 0.57721566490153286060651209。
目前尚不知道歐拉常數是否為有理數，但是分析表明如果它是一個有理數，那么它的分母位數將超過10242080。
日期 | 位數 | 計算者 |
1734年 | 6 | 萊昂哈德·歐拉 |
1736年 | 15 | 萊昂哈德·歐拉 |
1790年 | 19 | Lorenzo Mascheroni |
1809年 | 24 | Johann G. von Soldner |
1812年 | 40 | F.B.G. Nicolai |
1861年 | 41 | Oettinger |
1869年 | 59 | William Shanks |
1871年 | 110 | William Shanks |
1878年 | 263 | 約翰·柯西·亞當斯 |
1962年 | 1,271 | 高德納 |
1962年 | 3,566 | D.W. Sweeney |
1977年 | 20,700 | Richard P. Brent |
1980年 | 30,100 | Richard P. Brent和埃德溫·麥克米倫 |
1993年 | 172,000 | Jonathan Borwein |
1997年 | 1,000,000 | Thomas Papanikolaou |
1998年12月 | 7,286,255 | Xavier Gourdon |
1999年10月 | 108,000,000 | Xavier Gourdon和Patrick Demichel |
2006年7月16日 | 2,000,000,000 | Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo |
2006年12月8日 | 116,580,041 | Alexander J. Yee |
2007年7月15日 | 5,000,000,000 | Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo |
2008年1月1日 | 1,001,262,777 | Richard B. Kreckel |
2008年1月3日 | 131,151,000 | Nicholas D. Farrer |
2008年6月30日 | 10,000,000,000 | Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo |
2009年1月18日 | 14,922,244,771 | Alexander J. Yee和Raymond Chan |
2009年3月13日 | 29,844,489,545 | Alexander J. Yee和Raymond Chan |
2011年9月21日 | 970,258,158 | Eric Weisstein |
2013年7月22日 | 4,851,382,841 | Eric Weisstein |
計算方法
Xavier Gourdon在1999年使用以下算法計算歐拉常數到了108,000,000位：
對給定的
，計算：
則有
其中，
對給定的，此方法可以得到接近 
位的十進制小數精度。
