萊文貝格－馬夸特方法

萊文貝格－馬夸特方法（Levenberg–Marquardt algorithm）能提供數非線性最小化（局部最小）的數值解。

基本介紹

• 中文名：萊文貝格－馬夸特方法
• 外文名：Levenberg–Marquardt algorithm
• 學科：數學

介紹

萊文貝格－馬夸特方法（Levenberg–Marquardt algorithm）能提供數非線性最小化（局部最小）的數值解。此算法能藉由執行時修改參數達到結合高斯-牛頓算法以及梯度下降法的優點，並對兩者之不足作改善（比如高斯-牛頓算法之反矩陣不存在或是初始值離局部極小值太遠）。

問題描述

假設 f 是一個從 的非線性映射，也就是說，那么:

而我們的目的就是希望任意給定一個x以及合理的初始值p₀，我們能找到一個，使得 儘量小（局部極小），其中 。

解法

像大多數最小化的方法一樣，這是一個疊代的方法。首先根據泰勒展開式我們能把 寫為下面的近似，這有兩個好處：第一是線性、第二是只需要一階微分。

其中J是f的雅可比矩陣。對於每次的疊代我們這么作：假設這次 iteration 的點是，我們要找到一個 讓 最小。 根據投影公式我們知道當下面式子被滿足的時候能有最小誤差：

我們將這個公式略加修改得到：

就是萊文貝格－馬夸特方法。如此一來大的時候這種算法會接近最速下降法，小的時候會接近高斯-牛頓方法。為了確保每次長度的減少，我們這么作：先採用一個小的，如果長度變大就增加 。

這個算法當以下某些條件達到時結束疊代：

（1）如果發現 長度變化小於特定的給定值就結束。

（2）發現 變化小於特定的給定值就結束。

（3）到達了疊代的上限設定就結束。