艾森斯坦因判別法

艾森斯坦因判別法

艾森斯坦判別法是代數的定理,給出了判定整係數多項式不能分解為整係數多項式乘積的充分條件。由高斯定理,這種好用的判別法也是多項式在有理數域不可約的充分條件。

基本介紹

  • 中文名:艾森斯坦因判別法
  • 外文名:Eisenstein's irreducibility criterion
  • 表達式多項式
  • 提出者:Ferdinand Gotthold Max Eisenstein 
  • 套用學科數學
  • 適用領域範圍整係數多項式
定理定義,套用例子,驗證推導,進一步解釋,

定理定義

艾森斯坦判別法是說:給出下面的整係數多項式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0
如果存在素數p,使得
p不整除an ,但整除其他ai,(i=0,1,...,n-1) ;
p2 不整除a0
那么f(x) 在有理數域上是不可約的。
艾森斯坦因判別法

套用例子

給了多項式g(x) = 3x2+ 15x + 10,試確定它能否分解為有理係數多項式之積。
試用艾森斯坦判別法。素數2和3都不適合,考慮素數p = 5。5整除x的係數15和常數項10,但不整除首項3。而且52 = 25不整除10。所以g(x)在有理數域不可約。
有時候不能直接用判別法,或者可以代入y = x + a後再使用。
例如考慮h(x) = x2+ x + 2。這多項式不能直接用判別法,因為沒有素數整除x的係數1。但把h(x)代入為h(x + 3) = x2 + 7x + 14,可立刻看出素數7整除x的係數和常數項,但72= 49不整除常數項。所以有時通過代入便可以用到判別法。
艾森斯坦判別法得出的一個著名結果如下:
對素數p,以下多項式在有理數域不可約。
要使用艾森斯坦判別法,先作代換x = y + 1。新的常數項是p,除首項是1外,其他項的係數是二項式係數,k大於0,所以可以被p除盡。

驗證推導

對多項式f(x)取模p,也就是把它的係數映射到整數模P的環上。這樣它便化為f(x)≡cxn,0<c<p,c為非零常數。因為在域上的多項式有唯一分解,f在模p上會分解為單項式。
如果f是在有理數上可約的,那么會有多項式g, h使得f = g×h。從上可知gh取模p分別為dxk和exn-k,滿足c = d×e。因為ghp的常數項為零,這表示gh的常數項均可被p整除,所以f的常數項a0可以被p2整除,與f係數的假設矛盾。因此得證。

進一步解釋

依據牛頓圖的理論在其p進制數域,我們考慮一系列點的下凸集。
(0,1), (1, v1), (2, v2), ..., (n − 1, vn-1), (n,0), 其中viai 關於p的最高次冪。對於一個艾森斯坦多項式,
對0 < i < n,vi1v0 =1 vn =0, 固而它的牛頓圖即點列的下凸集應當是一條從(0,1)到(n,0)的線段,其斜率為

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