整係數多項式

整係數多項式是數論中研究的一類多項式，指係數都是整數的多項式。所有的整係數多項式對加、減、乘運算是自封閉的。如果一組整係數多項式適合以下條件時，就稱這組整係數多項式構成一個理想集合：

1.若f，g在此集合中，則f+g亦在此集合中； 2.若f在此集合中，而g為任一整係數多項式，則fg亦在此集合中；該理想集合符合希爾伯特定理。

基本介紹

• 中文名：整係數多項式
• 外文名：polynomial with integer coefficients
• 所屬領域：數論
• 定義：各項係數都是整數的多項式

定義

我們把形如

的表達式叫做x的多項式，記為 ，其中n是正整數，x是一個符號(或文字)， 都是常數，叫做 的係數， 還叫做 的常數項。 叫做 一個項，k叫做這一項的次數。當 時， 叫做 的首項， 叫做首項係數，n叫做 的次數，記為次 ．如果 的係數全為零，則把 叫做零多項式，記為0。我們認為零多項式沒有次數，若 ，則說 是零次多項式。

如果多項 的係數 都是整數，我們把 叫做整係數多項式，如果 的係數都是有理數，就把 叫做有理係數多項式。同樣地，可以定義實係數多項式和復係數多項式。

相關性質

定理1

(整係數多項式有理根的性質) 若既約分數 為整係數多項式 的根，則：

(1) 且 ；

(2) 除以 所得的商的各項係數必為p的倍數。

證明：因為 為 的根。

所以，由因式定理，有

其中

為有係數多項式。由此可得

可化為

由根的意義，有

可化為

故得

①

可知 為整數，但 ，故 為整數，又 時，式①變為

由此得

推論1

最高次項係數為1的整係數多項式的有理根必為整數。

推論2

若既約分數 為整係數多項式 的根，則除以 所得的商為整係數多項式。

定理2

求整係數多項式 的有理根的主要依據，其方法是：首先按定理1的結論(1)或其他有關條件找出有理根的一切可能根 ，然後採用綜合除法將 除以 ，根據因式定理，若且唯若 整除 時， 為有理根，除的過程中，如發現商的係數非p的倍數，則根據定理1的結論(2)， 非有理根，可不必再除下去。

例1設，求證：為無理數。

證明:是整係數多項式的一根，

可能的有理根為±1，±2，但

所以無有理數根。

定理3

設 為有理係數多項式， 與 有公共根a,則。

定理3的意義是，若有理係數不可約多項式有一根為另一有理係數多項式 的根，則 的全部根均為 的根。

推論3

如果有理係數多項式 有無理根 ( ， 為無理數， )，則必有無理根。

推論4

如果有理係數多項式 有無理根 ( 為無理數且非同類根式)，則必有無理根 及。