良序關係

良序的例子及反例

1、自然數集在通常序下是良序集。

2、整數集在通常序下不是良序集，例如該集合本身就沒有一個最小元素。

3、整數的下列關係R是良序的：x R y，若且唯若下列條件之一成立：

x=0；

x是正數，而y是負數；

x和y都是正數，而x≤y；

x和y都是負數，而y≤x。

這個序關係可以表示為：

0 1 2 3 4 …… -1 -2 -3 -4 -5 ……

4、實數集在通常序下不是良序集。

在良序集合中，除了整體上最大的那個（如果存在的話），所有的元素都有一個唯一的後繼元：比它大的元素組成的集合中，最小的元素。但是，除整體最小元之外的所有元素不一定都有前驅元。例如，“良序的例子和反例”一節第三個例子中的良序集中，-1並不是最小元，但仍然沒有前驅元。

任何良序集合，都序同構於一個唯一的序數，稱為這個集合的序型。該集合中的每個元素都對應著一個比其序型小的序數。

對全序集(S,≤)，下列命題是等價的：

（1）(S,≤)是良序集，即其所有非空子集合都有最小元素。

（2）超限歸納法在整個全序集(S,≤)上成立。

（3）(S,≤)上的所有嚴格遞減序列必定在有限多步驟內終止（假定依賴選擇公理）。

證明：使用循環證明法。

（1）→（2）：反設超限歸納法在(S,≤)上不成立，則存在一個性質φ，使得對S中任意元素x，只要φ對S中小於x的任何元素都成立，那么φ對x也成立，然而φ並非對S中所有元素都成立，即S中所有不滿足φ的元素組成的集合A是非空集，則A在序關係≤下不可能有最小元素，否則該最小元素應滿足φ，矛盾。

（2）→（3）：對序列的首項使用超限歸納法，則結論是顯然的。

（3）→（1）（依賴選擇公理）：對S的任一非空子集A，用選擇公理每次從A中選出一個元素，使得從第二次開始每次選出的元素都比前一次的小，則選出的所有元素構成一嚴格遞減序列，該序列必定在有限步內終止，但序列終止的唯一可能是選出了一個元素x使得A中沒有比x小的元素，從而x是A中的最小元素。