自然數求和公式

自然數求和公式

大家都知道高斯的1+2+3+...+100=5050

這便是1到100的自然數之和。 一般的自然數求和，我們可以用下面的公式:

#1 Sn = n * (n + 1) / 2

#2 Smn=(n+m)(n-m+1)/2

公式推導過程

1.到n的自然數之和:Sn = n * (n + 1) / 2

把兩個相同的自然數列逆序相加

2Sn=1+n + 2+(n-1) + 3+(n-2) + ... n+1

=n+1 +n+1 + ... +n+1

=n*(n+1)

Sn=n*(n+1)/2

2.m到n的自然數之和:Smn=(n-m+1)/2*(m+n)

(n>m)

Smn=Sn-S(m-1)

=n*(n+1)/2 -(m-1)*(m-1+1)/2

={n*(n+1) - m(m-1)}/2

={n*(n+1) - mn + m(1-m) + mn }/2

={n*(n-m+1)+ m(1+ n-m)}/2

=(n+m)(n-m+1)/2

擴展式

其實自然數和就是等差數列

等差數列

1.通項公式

差為d的n項為：An=A1+(n-1)d

2.等差求和公式

Sn=(A1+An)n/2

Sn=n(A1)+ n(n-1)d/2