羅斯函式

羅斯函式

理論物理 / 理論力學 / 分析力學中的概念,對應英文名為Routhian(或Routhian equation,Routhian function),由英國數學家Edward John Routh(1831-1907)創立。

The Routhian is the function which replaces both the Lagrangian and Hamiltonian functions.(直譯:羅斯函式是一種替換了拉格朗日函式哈密頓函式二者的函式。)

力學系統的狀態一般可以用廣義坐標q(t)、廣義速度q(表示廣義坐標對時間的導數dq/dt)、時間t的一個確定的函式L(q, q, t)來描述,L被稱作給定系統的拉格朗日函式;也可以用廣義坐標q、廣義動量p(相應於q的)、時間t的一個確定的函式H來描述,H(p, q, t)被稱作哈密頓函式。兩組變數之間的變換可以通過勒讓德變換得到。對於具有s個自由度的系統,其廣義坐標、廣義速度、廣義動量的個數均為sL與H則分別包含2s+1個變數。(各函式變數均省略了下標ii = 1, 2, ... , s

現假設該力學系統具有s = s1 + s2個自由度,其狀態用s1個廣義坐標ξ、廣義速度ξs2個廣義坐標q、廣義動量p,以及時間t的函式R來決定R(q, p, ξ, ξ, t)即為羅斯函式。

基本介紹

  • 中文名:羅斯函式
  • 外文名:Routhian
  • 英文縮寫:R
  • 提出者:Edward John Routh
  • 外文別名1:Routhian function
  • 外文別名2:Routhian equation
定義,推導,性質,套用,

定義

羅斯函式定義為:R=pq-L

推導

為了簡化公式,首先假設僅有兩個廣義坐標,用qξ表示,現進行從q, ξ, q,ξq, ξ,p,ξ的變換,其中p為相應於廣義坐標q的廣義動量。
拉格朗日函式L(q,ξ,q,ξ)的微分為
dL = (∂L/∂q)dq +(∂L/∂q)dq+(∂L/∂ξ)dξ- (∂L/∂ξ)dξ=pdq+qdp+ (∂L/∂ξ)dξ + (∂L/∂ξ)dξ
由此可得
d(L - pq) = pdq-qdp+ (∂L/∂ξ)dξ + (∂L/∂ξ)dξ
如果定義羅斯函式為
R(q,p,ξ,ξ) =pq-L
式中的速度q藉助方程用廣義動量p表示,則羅斯函式的微分為
dR = - pdq + qdp -(∂L/∂ξ)dξ -(∂L/∂ξ)dξ
由此可得以下性質

性質

羅斯函式的微分為:(以下各式中所有的 均表示對其前面的變數求時間導數,並非乘號。且以下所有的公式均可以推廣到有多個坐標 qξ 的情況,此處省略了表示自由度的下標 i )
dR = -pdq + qdp - (∂L/∂ξ)dξ - (∂L/∂ξ)dξ
由此可得
方程1: q=∂R/∂pp= -∂R/∂q
方程2: ∂L/∂ξ = - ∂R/∂ξ , ∂L/∂ξ = - ∂R/∂ξ
將方程2代入拉格朗日方程可得
方程3:d(∂R/∂ξ) / dt =∂R/∂ξ
可見,羅斯函式對於坐標q哈密頓函式(方程1),對於坐標ξ拉格朗日函式(方程3)。
根據一般定義,系統的能量為
方程4:E =qL/∂q +ξL/∂ξ - L =pq + ξL/∂ξ - L
將羅斯函式定義式與方程2代入,能量可以用羅斯函式表示為
E =R -ξR/∂ξ

套用

套用羅斯函式可能是非常方便的,特別是存在循環坐標的時候。如果q是循環坐標,則它不顯含在拉格朗日函式中,因而不顯含於羅斯函式,所以羅斯函式僅是p,ξ,ξ的函式,而相應於循環坐標的廣義動量p為常數(也可從方程1中的後式得出,從這個意義上講,方程1不能給出任何新的結果)。將p替換為給定常數後,方程3成為僅包含坐標ξ的方程,循環坐標被完全消去。如果這些方程可以求解並得到函式 ξ(t) ,則將其代入方程
q =∂R(p, ξ, ξ) / ∂p
的右端,可以直接積分求出函式q(t)。

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