理論物理 / 理論力學 / 分析力學中的概念，對應英文名為Routhian（或Routhian equation，Routhian function），由英國數學家Edward John Routh（1831-1907）創立。
The Routhian is the function which replaces both the Lagrangian and Hamiltonian functions.（直譯：羅斯函式是一種替換了拉格朗日函式與哈密頓函式二者的函式。）
力學系統的狀態一般可以用廣義坐標q(t)、廣義速度q（表示廣義坐標對時間的導數dq/dt）、時間t的一個確定的函式L(q, q, t)來描述，L被稱作給定系統的拉格朗日函式；也可以用廣義坐標q、廣義動量p（相應於q的）、時間t的一個確定的函式H來描述，H(p, q, t)被稱作哈密頓函式。兩組變數之間的變換可以通過勒讓德變換得到。對於具有s個自由度的系統，其廣義坐標、廣義速度、廣義動量的個數均為s，L與H則分別包含2s+1個變數。（各函式變數均省略了下標i，i = 1, 2, ... , s）
現假設該力學系統具有s = s1 + s2個自由度，其狀態用s1個廣義坐標ξ、廣義速度ξ，s2個廣義坐標q、廣義動量p，以及時間t的函式R來決定R(q, p, ξ, ξ, t)即為羅斯函式。
基本介紹
- 中文名：羅斯函式
- 外文名：Routhian
- 英文縮寫：R
- 提出者：Edward John Routh
- 外文別名1：Routhian function
- 外文別名2：Routhian equation
定義,推導,性質,套用,
定義
羅斯函式定義為：R=pq-L。
推導
為了簡化公式，首先假設僅有兩個廣義坐標，用q和ξ表示，現進行從q, ξ, q,ξ到q, ξ,p,ξ的變換，其中p為相應於廣義坐標q的廣義動量。
拉格朗日函式L(q,ξ,q,ξ)的微分為
dL = (∂L/∂q)dq +(∂L/∂q)dq+(∂L/∂ξ)dξ- (∂L/∂ξ)dξ=pdq+qdp+ (∂L/∂ξ)dξ + (∂L/∂ξ)dξ
由此可得
d(L - pq) = pdq-qdp+ (∂L/∂ξ)dξ + (∂L/∂ξ)dξ
如果定義羅斯函式為
R(q,p,ξ,ξ) =pq-L
式中的速度q藉助方程用廣義動量p表示，則羅斯函式的微分為
dR = - pdq + qdp -(∂L/∂ξ)dξ -(∂L/∂ξ)dξ
由此可得以下性質
性質
羅斯函式的微分為：(以下各式中所有的 均表示對其前面的變數求時間導數，並非乘號。且以下所有的公式均可以推廣到有多個坐標 q 和 ξ 的情況，此處省略了表示自由度的下標 i )
dR = -pdq + qdp - (∂L/∂ξ)dξ - (∂L/∂ξ)dξ
由此可得
方程1： q=∂R/∂p ， p= -∂R/∂q
方程2： ∂L/∂ξ = - ∂R/∂ξ ， ∂L/∂ξ = - ∂R/∂ξ
將方程2代入拉格朗日方程可得
方程3：d(∂R/∂ξ) / dt =∂R/∂ξ
根據一般定義，系統的能量為
方程4：E =q∂L/∂q +ξ∂L/∂ξ - L =pq + ξ∂L/∂ξ - L
將羅斯函式定義式與方程2代入，能量可以用羅斯函式表示為
E =R -ξ∂R/∂ξ
套用
套用羅斯函式可能是非常方便的，特別是存在循環坐標的時候。如果q是循環坐標，則它不顯含在拉格朗日函式中，因而不顯含於羅斯函式，所以羅斯函式僅是p,ξ,ξ的函式，而相應於循環坐標的廣義動量p為常數（也可從方程1中的後式得出，從這個意義上講，方程1不能給出任何新的結果）。將p替換為給定常數後，方程3成為僅包含坐標ξ的方程，循環坐標被完全消去。如果這些方程可以求解並得到函式 ξ(t) ，則將其代入方程
q =∂R(p, ξ, ξ) / ∂p
的右端，可以直接積分求出函式q(t)。
