緩增廣義函式

緩增廣義函式(tempered distribution)是施瓦茲空間S上的連續線性泛函。這樣一來，大大地擴大了傅立葉變換套用的範圍，發揮了傅立葉變換作為研究函式工具的功效。

基本介紹

• 中文名：緩增廣義函式
• 外文名：tempered distribution
• 領域：數學
• 性質：線性泛函
• 空間：施瓦茲空間
• 意義：擴大了傅立葉變換套用的範圍

概念

緩增廣義函式(tempered distribution)是施瓦茲空間S上的連續線性泛函。這樣的廣義函式全體在適當的拓撲下，記為S′。S′的重要性在於可以定義傅立葉變換。設u∈S′，定義其傅立葉變換：

常見的函式(例如所有1≤p≤+∞的L函式)幾乎都是緩增廣義函式，但也存在不是函式的緩增廣義函式(例如δ函式)。這樣一來，大大地擴大了傅立葉變換套用的範圍，發揮了傅立葉變換作為研究函式工具的功效。

施瓦茲空間

施瓦茲空間是一類光滑函式空間。設函式f在R上無窮次可微且滿足下述條件：對於任何正整數m，α=(α₁，α₂，…，α_n)∈Zⁿ₊，

式中：

這類函式引入適當的拓撲後，就成為完備的線性距離空間，稱為施瓦茲空間，記為S。它有廣泛的用途。顯然，有緊支集的無窮次可微函式類C^∞₀包含在S內，即C^∞₀⊂S。

線性泛函

線性泛函即線性運算元。線性空間之間保持線性運算的映射。設X，Y同是數域K上的線性空間，D是X的線性子空間，T是從D到Y中的映射.如果對每個x，y∈D，有T(x+y)=Tx+Ty，則稱T是可加運算元；如果對每個x∈D和實數α有T(αx)=αTx，則稱T是實齊次的，如果對一切α∈K這個關係式都成立，則稱T是齊次運算元。如果T既是可加的又是齊次的，則稱T是線性運算元或線性映射，D稱為T的定義域，常記為D(T)。線性子空間R(T)={Tx|x∈D}稱為T的值域(或像域)。當D(T)=X時，稱T是X到Y的線性運算元。當R(T)=Y時，稱T為X到Y上的或滿值域的。特別地，當Y=K(或Y是一維線性空間)時，T稱為D上的線性泛函。線性泛函是線性運算元的特殊情形。

拓撲

集合上的一種結構。設T為非空集X的子集族。若T滿足以下條件：

1.X與空集都屬於T；

2.T中任意兩個成員的交屬於T；

3.T中任意多個成員的並屬於T；

則T稱為X上的一個拓撲.具有拓撲T的集合X稱為拓撲空間，記為(X，T)。

設T₁與T₂為集合X上的兩個拓撲。若有關係T₁T₂，則稱T₁粗於T₂，或T₂細於T₁。當X上的兩個拓撲相互之間沒有包含關係時，則稱它們是不可比較的.在集合X上，離散拓撲是最細的拓撲，平凡拓撲是最粗的拓撲。