《線性代數疑難問題選講》對工科類線性代數課程中一些疑難問題作了較為深入的討論。其內容主要涉及四個方面：一是對教材中一些重要的概念、理論和方法作剖析，揭示包含其中的數學原理與思想，歸納總結一些重要的數學方法；二是對於一些容易混淆的概念辨明它們之間的區別與聯繫；三是對教材中一些常用而又沒給出證明的定理補充證明，並對部分內容作了適當的延伸；四是收集整理了大量的套用實例供讀者參考。
基本介紹
- 書名：線性代數疑難問題選講
- 作者：蒲和平
- 出版日期：2014年8月1日
- 語種：簡體中文
- ISBN：9787040403923
- 外文名：Answers to Selected Perplexed Questions in Linear Algebra
- 出版社：高等教育出版社
- 頁數：172頁
- 開本：16
內容簡介,圖書目錄,
內容簡介
《線性代數疑難問題選講》可作為線性代數課程的教學參考書，對教師的教學與學生的學習都有很好的啟迪與幫助。
圖書目錄
第一章矩陣
問題1.1矩陣乘法中的幾個問題
（1）矩陣的乘法為什麼要像教材中那樣定義
（2）矩陣乘法還有其他定義形式嗎
（3）如何理解雙重求和符號的可交換性
（4）矩陣的乘法運算要注意哪些問題
問題1.2計算一個矩陣的方冪有哪些常見方法
（1）用歸納法計算
（2）用遞推公式計算
（3）將矩陣作拆分計算
（4）將矩陣相似對角化後作計算
（5）用Hamilton—Cayley定理簡化計算
問題1.3如何理解逆矩陣的概念
問題1.4如何理解伴隨矩陣的意義
問題1.5矩陣的秩有何意義？它有哪些等價的描述
問題1.6為什麼要引入初等矩陣？它的主要作用是什麼
問題1.7如何理解矩陣等價中的三條基本性質？矩陣的等價標準形有何意義
（1）矩陣等價中的三條基本性質
（2）矩陣等價標準形的意義
問題1.8矩陣分塊有何意義？分塊要注意哪些問題
（1）降階，使計算得到簡化
（2）分割，使問題得到轉化
問題1.9如何將矩陣的初等變換與初等矩陣推廣到分塊矩陣
問題1.10什麼是矩陣的三角分解（LU分解），有何套用
第二章行列式
問題2.1行列式的歷史沿革
問題2.2行列式有哪些不同的定義方式
（1）“逆序數法”定義
（2）“歸納法”定義
（3）“函式法”定義
問題2.3行列式有何幾何意義
（1）超平行多面體的有向面積或體積
（2）線性變換下圖形面積或體積的伸縮因子
問題2.4Cramer法則的多種證明與幾何意義
（1）Cramer法則的多種證明
（2）Cramer法則的幾何意義
問題2.5行列式的計算有哪些常用方法
問題2.6行列式的Laplace展開定理如何證明
問題2.7分塊行列式也有初等變換性質嗎
第三章向量空間與線性方程組
問題3.1如何認識“n維向量空間”所研究的問題
（1）n維向量空間是3維幾何空間的推廣
（2）n維向量空間是線性空間的一個代表
（3）線性方程組與向量組、向量空間
問題3.2如何引入線性表出與線性相關等概念
（1）線性表出概念的引入
（2）線性相關概念的引入
問題3.3判定向量組線性相關性的常見方法
問題3.4向量組的極大線性無關組有何意義與等價形式
（1）向量組的極大線性無關組的概念及其意義
（2）極大無關組的等價描述
問題3.5何謂兩個向量組各個向量之間有相同的線性關係
問題3.6矩陣的等價與向量組的等價有何區別與聯繫
問題3.7線性方程組中的幾個問題
（1）如何理解Gauss消元法解線性方程組的正確性
（2）為什麼要用向量來表示線性方程組的解
（3）非齊次線性方程組線性無關解向量的個數與通解
第四章特徵值與特徵向量
問題4.1如何理解矩陣特徵值與特徵向量的幾何意義
（1）實特徵值的情況
（2）復特徵值的情況
問題4.2若矩陣多項式f（A）=0，則方程f（λ）=0的根與A的特徵值有怎樣的關係
問題4.3如何確定一個數入是矩陣A的特徵值
問題4.4如何理解矩陣特徵多項式的係數
問題4.5設A是m×n矩陣，B是n×m矩陣，則AB與BA是否有相同的特徵值
問題4.6如何理解矩陣的不同特徵值所對應的特徵向量的線性無關性
問題4.7什麼是特徵值的代數重數與幾何重數？二者有何關係
問題4.8矩陣相似中的幾個問題
（1）矩陣的相似與等價具有怎樣的關係
（2）相似矩陣的特徵向量有何關係
（3）為什麼要討論矩陣的相似對角形
（4）能否用初等變換化矩陣為相似對角形
問題4.9乘積可交換矩陣一定有公共的特徵向量嗎
問題4.10為什麼實對稱矩陣一定能正交對角化
第五章二次型
問題5.1如何認識二次型所研究的問題
問題5.2為什麼要確定二次型的矩陣為對稱矩陣
問題5.3對二次型的研究為什麼要以滿秩線性變換為手段
問題5.4矩陣的等價、相似與契約有何區別與聯繫
問題5.5實二次型XTAx在條件‖x‖=1下一定有最大與最小值嗎
問題5.6為什麼說二次型的規範形是唯一的，它有何意義
問題5.7化二次型為標準形有哪些常見方法？這些方法有何改進
（1）配方法的改進——偏導數法
（2）契約變換法的改進——行初等變換法
問題5.8如何理解正定二次型與正定矩陣的重要性
問題5.9如何作直角坐標變換化一般二次曲面方程為標準方程
第六章套用實例
問題1.1矩陣乘法中的幾個問題
（1）矩陣的乘法為什麼要像教材中那樣定義
（2）矩陣乘法還有其他定義形式嗎
（3）如何理解雙重求和符號的可交換性
（4）矩陣的乘法運算要注意哪些問題
問題1.2計算一個矩陣的方冪有哪些常見方法
（1）用歸納法計算
（2）用遞推公式計算
（3）將矩陣作拆分計算
（4）將矩陣相似對角化後作計算
（5）用Hamilton—Cayley定理簡化計算
問題1.3如何理解逆矩陣的概念
問題1.4如何理解伴隨矩陣的意義
問題1.5矩陣的秩有何意義？它有哪些等價的描述
問題1.6為什麼要引入初等矩陣？它的主要作用是什麼
問題1.7如何理解矩陣等價中的三條基本性質？矩陣的等價標準形有何意義
（1）矩陣等價中的三條基本性質
（2）矩陣等價標準形的意義
問題1.8矩陣分塊有何意義？分塊要注意哪些問題
（1）降階，使計算得到簡化
（2）分割，使問題得到轉化
問題1.9如何將矩陣的初等變換與初等矩陣推廣到分塊矩陣
問題1.10什麼是矩陣的三角分解（LU分解），有何套用
第二章行列式
問題2.1行列式的歷史沿革
問題2.2行列式有哪些不同的定義方式
（1）“逆序數法”定義
（2）“歸納法”定義
（3）“函式法”定義
問題2.3行列式有何幾何意義
（1）超平行多面體的有向面積或體積
（2）線性變換下圖形面積或體積的伸縮因子
問題2.4Cramer法則的多種證明與幾何意義
（1）Cramer法則的多種證明
（2）Cramer法則的幾何意義
問題2.5行列式的計算有哪些常用方法
問題2.6行列式的Laplace展開定理如何證明
問題2.7分塊行列式也有初等變換性質嗎
第三章向量空間與線性方程組
問題3.1如何認識“n維向量空間”所研究的問題
（1）n維向量空間是3維幾何空間的推廣
（2）n維向量空間是線性空間的一個代表
（3）線性方程組與向量組、向量空間
問題3.2如何引入線性表出與線性相關等概念
（1）線性表出概念的引入
（2）線性相關概念的引入
問題3.3判定向量組線性相關性的常見方法
問題3.4向量組的極大線性無關組有何意義與等價形式
（1）向量組的極大線性無關組的概念及其意義
（2）極大無關組的等價描述
問題3.5何謂兩個向量組各個向量之間有相同的線性關係
問題3.6矩陣的等價與向量組的等價有何區別與聯繫
問題3.7線性方程組中的幾個問題
（1）如何理解Gauss消元法解線性方程組的正確性
（2）為什麼要用向量來表示線性方程組的解
（3）非齊次線性方程組線性無關解向量的個數與通解
第四章特徵值與特徵向量
問題4.1如何理解矩陣特徵值與特徵向量的幾何意義
（1）實特徵值的情況
（2）復特徵值的情況
問題4.2若矩陣多項式f（A）=0，則方程f（λ）=0的根與A的特徵值有怎樣的關係
問題4.3如何確定一個數入是矩陣A的特徵值
問題4.4如何理解矩陣特徵多項式的係數
問題4.5設A是m×n矩陣，B是n×m矩陣，則AB與BA是否有相同的特徵值
問題4.6如何理解矩陣的不同特徵值所對應的特徵向量的線性無關性
問題4.7什麼是特徵值的代數重數與幾何重數？二者有何關係
問題4.8矩陣相似中的幾個問題
（1）矩陣的相似與等價具有怎樣的關係
（2）相似矩陣的特徵向量有何關係
（3）為什麼要討論矩陣的相似對角形
（4）能否用初等變換化矩陣為相似對角形
問題4.9乘積可交換矩陣一定有公共的特徵向量嗎
問題4.10為什麼實對稱矩陣一定能正交對角化
第五章二次型
問題5.1如何認識二次型所研究的問題
問題5.2為什麼要確定二次型的矩陣為對稱矩陣
問題5.3對二次型的研究為什麼要以滿秩線性變換為手段
問題5.4矩陣的等價、相似與契約有何區別與聯繫
問題5.5實二次型XTAx在條件‖x‖=1下一定有最大與最小值嗎
問題5.6為什麼說二次型的規範形是唯一的，它有何意義
問題5.7化二次型為標準形有哪些常見方法？這些方法有何改進
（1）配方法的改進——偏導數法
（2）契約變換法的改進——行初等變換法
問題5.8如何理解正定二次型與正定矩陣的重要性
問題5.9如何作直角坐標變換化一般二次曲面方程為標準方程
第六章套用實例
