線匯論

三維歐氏空間中由二參變數(u，v)定義的具有二個自由度的直線全體{l(u,v)}稱為直線匯或簡稱線匯， 各直線稱為光線。

基本介紹

• 中文名：線匯論
• 闡述：二個自由度的直線全體
• 別名：直線匯
• 相關：三維歐氏空間
• 領域：數學

基本簡介

三維歐氏空間由二參變數(u，v)定義的具有二個自由度的直線全體{l(u,v)}稱為直線匯或簡稱線匯，各直線稱為光線。這方面理論發端於1828、1830年W.R.哈密頓的研究。1860年E.E.庫默爾仿效曲面論的方法取定一個參考曲面,使每條光線l(u,v)和它相交於點x(u,v)，而且採用l(u,v)的單位向量n(u,v)以代替曲面的法線，於此，他作出dn2和dxdn這二個二次微分形式，並按照同曲面論一樣的步驟展開了線匯的系統的論述，從而基本上獲得了線匯的重要元素。但是，在參考曲面的選擇上存在著不惟一性的缺點，所以，G.桑尼亞(1908)對此加以改善，保留E.E.庫默爾的第一基本形式而重新作出新形式，用以取代第二基本形式，這裡dσ和dr分別表示線匯的二鄰近光線l(u,v)，l┡(u+du,v+dv)間的交角和最短距離，這樣，線匯論基本定理就如同曲面論中一樣，被完備無缺地建立起來了。
在討論線匯論的方法中，特別要提出的是W.J.E.布拉什克利用E.施圖迪的推移原理和W.K.克利福德的對偶數而作成的創建。下面將簡述“對偶點”與桑尼亞基本形式間的關係。
對偶數與直線坐標　按照E.斯圖迪的理論說來，直線幾何是可以移到作為二維球面上的幾何而對之進行研究的。為此，將運用被稱為“對偶數”的數系。普通的複數有兩個單位1，i,其中i2=-1，而且一般形式是α+ib)，式中α，b都是實數。對偶數的一般形式則是α+εb，其中新單位ε滿足關係式ε2=0。對偶數滿足乘法交換律，但是因子定理則不成立。換言之，二對偶數的積等於零時，各因子可以不是零。例如，設α·b≠0，εα·εb=0就是例子。可以普通複數的方法定義對偶數的正則函式。比如：從得出cos(α +εβ)=cos α-εβsin α 。

設一直線l是由其上二點p(x)和圴(塣)決定的。這裡x表示p的位置向量，等等。令式中ρ≠0是待定的實數,“×”表示向量積,這二向量的六個分量恰恰代表直線l的普呂克坐標,它們必須滿足恆等式(X，)=0。現在選取ρ使得X2=1，那么X表示直線l的單位向量。

根據斯圖迪理論導入一個“對偶向量”：ξ=X+ε塣，使之和直線l一一對應,從上述關係立即得出ξ2=1。所以(ξ)表示單位球上的一個“對偶點”,這樣，三維空間的直線被表示為單位球上的對偶點。
對偶點與桑尼亞基本形式 　設一個線匯的光線l(u,v)所對應的對偶點為,那么在單位球上所作的“對偶線素”dξ2,是在對偶旋轉下的不變形式，而且實際上，它的實部分和對偶部分恰恰分別是桑尼亞的第一和第二基本形式。

一個曲面的所有法線構成的線匯稱為法線匯，它有如下的重要性質，被稱為幾何光學的基本定理，即馬呂斯－迪潘定理　任意法線匯的光線經有限回關於曲面的反射或屈射後，仍然保持其為法線匯的性質。也可以用仿射和射影的觀點來研究線匯。

歐幾里德空間

簡稱歐氏空間。既是幾何學的研究對象，又是代數學的研究對象。在幾何學中，歐氏空間是滿足全部歐幾里得公理的幾何空間.它的幾何是研究幾何圖形的度量性質和度量不變數的歐幾里得幾何(簡稱歐氏幾何)，包括普通平面幾何和立體幾何的全部理論。

歐氏幾何空間按維數的不同而有一維歐氏空間(即歐氏直線)、二維歐氏空間(即歐氏平面)和三維歐氏空間(即普通空間，在幾何學中也常簡稱歐氏空間)。在代數學中，歐氏空間是實數域上的一個線性空間，在其中規定了一個稱為內積的二元實函式。歐氏線性空間的維數可以是任意的自然數。容易在同維數的歐氏幾何空間與歐氏線性空間之間建立直接的聯繫。在歐氏幾何空間中取定一點作為公共的起點，空間每一點就決定一個以該點作為終點的向量.這種向量的全體構成的集合在向量加法和數乘向量的乘法下就是一個線性空間.再以通常向量的數量積作為線性空間中向量的內積，這個線性空間就是一個歐氏線性空間。反之，線上性空間取定基底後，n維線性空間中的向量可以用n元數組作為坐標表示，再把n維歐氏線性空間的向量的坐標看做n維歐氏幾何空間中建立了直角坐標系後點的坐標，這樣就在n維歐氏線性空間的向量和n維歐氏幾何空間的點之間建立了一一對應，並且當取後者的坐標原點作為公共的起點，由後者的每個點作為終點所決定的向量，其坐標正好與前者的對應向量的坐標相同，由其數量積所確定的歐氏線性空間，也與前者完全合一。

總之，按照以上的討論，在同維數的幾何空間和歐氏線性空間之間可以建立一一對應，並在此對應下保持著各自的幾何、代數結構。這也是將後來發展的代數體系與先發展的幾何體系取同一名稱——歐幾里得空間的原因。

哈密頓

英國數學家、物理學家。生於愛爾蘭都柏林，卒於都柏林附近的敦辛克天文台。早年受到良好的親職教育。5歲時開始學習外語，到14歲時學會了多種歐洲語言。13歲時對數學發生興趣，自學了克萊羅、牛頓和拉普拉斯等人的著作。1823年入都柏林三一學院學習。1827年應聘為三一學院天文學教授，同時獲得愛爾蘭皇家天文學家的稱號。1827年定居都柏林附近的敦辛克天文台，從此潛心鑽研數理科學。1835年獲得爵位。1837年當選為愛爾蘭皇家科學院院長。他還是英國皇家學會會員和其他一些國家科學院成員。哈密頓對分析力學的發展做出了重要貢獻。他首先建立了光學的數學理論，然後把這種理論移植到動力學中去。他在1834年的論文《動力學的一種普遍方法》中，提出了著名的“哈密頓最小作用原理”，即用一個變分式推出各種動力學定律。他把廣義坐標和廣義動量作為典型變數來建立動力學方程——哈密頓典型方程。他還建立了與系統的總能量有關的哈密頓函式，這些工作推動了變分法和微分方程理論的進一步研究，在現代物理中得到廣泛套用。哈密頓在數學上的主要貢獻是發現了“四元數”。他在研究複數x+yi的基礎上試圖建立三維“複數”，未獲成功，最終導致(1843)他考慮具有四個分量的新數t+xi+yi+zk，並稱之為四元數，建立了它的運算法則。四元數的發現為向量代數和向量分析的建立奠定了基礎，而四元數系又構成了以實數域為係數域的有限維可除代數，因此對代數學的發展具有重要意義。他最重要的數學著作是《四元數講義》(1853)。