《緊黎曼面上的一形式與奇性可約橢圓度量》是依託中國科學技術大學，由許斌擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：緊黎曼面上的一形式與奇性可約橢圓度量
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：許斌
- 依託單位：中國科學技術大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
在緊黎曼面上給定有限個點與相應的角度， 是否存在於給定點具有相應錐角度的奇性橢圓度量？這是一個有著一百多年歷史，但仍未解決的經典問題。從代數的角度出發，申請人與合作者將奇性橢圓度量分成可約和不可約兩類, 並且發現可約橢圓度量問題可以約化為(僅有單極點的亞純)一形式的研究。另一方面，三十多年前人們發現緊黎曼面上的全純一形式的模空間與動力系統中的區間交換映射以及有理多邊形上的桌球運動之間的聯繫以來，數學家們在這個領域已建立比較完整的理論。我們計畫探究緊黎曼面的復結構與該黎曼面上的一形式的極點及其留數，零點及其重數之間的非平凡關係，研究滿足適當條件的一形式的模空間的性質。通過完成這項研究，我們不但可以得到可約橢圓度量存在的充分必要條件與清晰理解其模空間，還可以嘗試將全純一形式的理論推廣到一形式。
結題摘要
在緊黎曼面上給定有限個點與相應的角度, 是否存在於給定點具有相應錐角度的橢圓錐度量？ 這是一個有著一百多年歷史的經典公開問題. 負責人與合作者先將橢圓錐度量分成可約和不可約度量兩類， 再將可約度量約化成酉一形式, 將不可約度量約化成兩個線叢的穩定擴張的研究, 並取得了如下新進展.1. 觀察到酉一形式一定是 Jenkins-Strebel 微分, 以它的度量圖為工具, 得到緊黎曼面上可約度量的錐角度滿足的充分必要條件, 並發現該條件在黎曼面的虧格等於零或者大於零時具有不同的表達形式.2. 得到可約度量的譜刻畫：橢圓錐度量可約若且唯若它的拉普拉斯運算元的全純自共軛擴張具有特徵值為2的實值特徵函式.3. 得到一類比可約度量略廣的準可約度量與具有純虛數周期的二次微分之間的對應, 證明所有具有雙極點的 Strebel 二次微分都有純虛數周期，從而利用這種 Strebel 微分及其度量圖構造出一類新的準可約度量.4. 在緊黎曼面上利用穩定向量叢理論, 構造出從兩個線叢的穩定擴張的模空間到具有整角度的不可約度量的模空間的典範滿射, 並利用之在虧格大於一的緊黎曼面上證明了關於橢圓錐度量的新存在性定理。負責人與合作者還在奇異雙曲度量，奇異平坦度量與奇異特殊凱勒結構這三個相關課題上取得了一些新進展.
