紹德爾估計

在數學中，紹德爾估計是由波蘭數學家紹德爾在1934至1937年間提出的關於線性、均勻橢圓偏微分方程的解的規律性的結果的理論。 該估計說，當方程具有適當的平滑項和適當平滑的解時，則可以根據係數和源項的霍爾規範來控制解的霍爾規範。 由於這些估計假定存在解，所以稱為先驗估計。

紹德爾估計(Schauder estimates)是指對帶赫爾德連續係數的二階線性橢圓型方程的C^(2,\alpha)範數的估計。

基本介紹

• 中文名：紹德爾估計
• 外文名：Schauder estimates
• 別名：先驗估計
• 提出者：紹德爾
• 提出時間：1934-1937年
• 組成：紹德爾內估計與紹德爾全局估計

人物簡介

紹德爾(Schauder，Juliusz Pawel，1899-1943) 波蘭數學家。生於利沃夫(I,'vov，今屬波蘭)，就學於利沃夫的卡齊米日(Kazimierz)大學，1923年在施坦因豪斯((Steinhaus , H. D.)的指導下取得博士學位，以後留校工作。第二次世界大戰期間遭受納粹迫害， 1943年犧牲。

紹德爾曾與巴拿赫(Banach,S.)一起從事研究工作，他的數學研究受到了法國數學家阿達馬 (Hadamard, J. <- S.)和蘇聯數學家伯恩斯坦 (EepHiuTeHH,C. H.)的影響。他在泛函分析、拓撲學、積分論、橢圓及雙曲型偏微分方程等方面都做了大量工作。他把布勞威爾($rouwer , L. E. J.)關於歐氏空間中凸緊集到自身的連續映射的不動點定理推廣到線性賦范空間中的凸緊集、巴拿赫空間中的凸緊集、局部凸的線性拓撲空間中的凸緊集到自身的連續映射上。他的這些結果有廣泛的套用。1934年，他和法國數學家勒雷(I,eray , J.)合作，套用不動點定理證明了微分方程解的存在性定理。現代數學文獻中多處出現紹德爾的名字；與雙曲型方程相關的紹德爾能量不等式、緊運算元理論中的里斯一紹德爾定理，關於微分運算元內正則性的紹德爾估計等。此外，他在拓撲學中也得到了一些十分著名的結果。

紹德爾

紹德爾1899年9月21日生於洛夫，畢業後不得不在第一次世界大戰中戰鬥。他被捕並在義大利監禁。他於1919年進入洛夫大學，1923年獲得博士學位。他在大學任教，在中學任教時繼續研究。由於他出色的成績，他於1932年獲得了獎學金，讓他在萊比錫，特別是巴黎度過了數年時間。在巴黎，他與Jean Leray開始了非常成功的合作。 1935年左右，蕭伯勒獲得洛夫大學高級助理職務。

紹德爾是猶太人，1941年德國軍隊入侵後，他不可能繼續工作。他在給瑞士數學家的信中寫道，他有重要的新成果，但沒有檔案寫下來。他大概在1943年10月被Gestapo處決。

他的大部分數學成果都屬於函式分析領域，是波蘭數學大學數學家Lwów數學學院的一部分。 他們是這一領域的先驅，在現代分析的各個方面都有廣泛的套用。 他最為出名的是紹德爾定點定理，該定理是證明各種問題解決方案存在的主要工具，勒維 - 紹德爾原理， 一種從先驗估計中建立偏微分方程解的方法。

來源

在數學中，紹德爾估計是由紹德爾（1934-1937年）提出的關於線性，均勻橢圓偏微分方程的解的規律性的結果的集合。估計說，當方程具有適當的平滑項和適當平滑的解時，則可以根據係數和源項的霍爾規範來控制解的霍爾規範。由於這些估計假定存在解，所以稱為先驗估計。

內部結果都是內部結果，在邊界內部的解決方案中給出了Hölder條件，並提供了邊界結果，為整個領域的解決方案提供了霍爾條件。前者的界限僅取決於空間維度，方程和與邊界的距離;後者也取決於邊界的平滑度。

紹德爾估計是使用連續性方法來證明橢圓型PDE的狄利克雷問題的解決方案的存在和規律性的必要先決條件。該結果表明，當方程的係數和邊界條件的性質足夠平滑時，PDE有一個平滑的經典解。

表示方法

紹德爾估計(Schauder estimates)對帶赫爾德連續係數的二階線性橢圓型方程的 範數的估計。設 滿足方程 (在 內)，假設係數滿足：存在常數 及 使得：

其中C只依賴於n, , , 以及 。

設L的係數滿足上述條件，又設 屬於 ， 滿足上述方程與邊條件 ，則有紹德爾全局估計：

其中C只依賴於n, , , 與 。紹德爾內估計與紹德爾全局估計統稱紹德爾估計。