基本介紹
- 中文名：純不可分元
- 外文名：purely inseparable element
- 所屬學科：數學
- 屬性：代數擴域中的一種特殊元
- 所屬問題：域論與伽羅瓦理論(域的擴張)
- 相關概念：不可分元，純不可分多項式等
定義,相關性質與概念,可分多項式與可分元,可分擴域,
定義
F是域，
中多項式
如果沒有重根，則稱 為可分多項式，否則為不可分多項式。K是F的擴域，
，
稱為F的可分元，如果 是F的代數元， 滿足的 中既約多項式沒有重根。若F的代數元 滿足的 中既約多項式有重根，則 稱為F的不可分元。若F的代數元 滿足的 中不可約多項式為
則稱 為F的純不可分元。
相關性質與概念
下面是關於可分元與純不可分元的重要判定法。
設
是特徵為
的域：
(i)一擴張域的代數元
是上的可分元若且唯若
；
(ii)若是純不可分元，則其最小多項式有形式
；反之，若滿足作
形的方程，則是上的純不可分元。
可分多項式與可分元
設F為域，稱 中多項式 是F上的可分多項式，如果它在 中的任一不可約因子都無重根（允許 有重根）。否則，稱 是F上的不可分多項式，其直觀含義是，有重根的不可約多項式的重根粘在一起了無法分離，必須注意，可分概念與其係數域密切相關，不可約性是對係數域而言的，有時為敘述簡潔起見，稱 是F[x]中的可分多項式，指的是
，且 是F上的可分多項式，易見，任一無重根的不可約多項式必是可分多項式，不可分多項式的任一倍式必是不可分多項式。F上的代數元
稱為F上的可分元，如果 在F上的最小多項式
（它必為F上的不可約多項式）無重根，否則，稱 是F上的不可分元，此時， 必是 的
重根，k是 關於F的指數，易見，任一
必是F上可分元，若 是F上的某一個可分多項式 的根，則 必是 的某個不可約因子 的根，且 就是 在F上的最小多項式， 無重根，所以 必是F上的可分元，因此，F上的可分多項式的根必是F上的可分元，但是，若 是F上的不可分多項式，這僅僅是說，存在 的某個不可約因子 有重根，因為 的根未必是這個因子 的根，所以F上的不可分多項式的根未必是F上的不可分元。
可分擴域
設K是域F的代數擴域，如果任一
都是F 上可分元，則稱K是F的可分擴域。否則，稱K 是F的不可分擴域，如果任一 而
，都是F上不可分元，則稱K是F的純不可分擴域。
易見：域F 是完全域
定理1 域F的任一有限次可分擴域E必是單代數擴域。
定理2設
，
是F上的可分元，則E上的任一可分元 必是F上的可分元，特別，E必是F的可分擴域。
定理3 設
是三個域，可證明
(1) 若K/F是可分擴域，則K/E和E/F都是可分擴域；
(2) 若K/E和E/F都是可分擴域，則K/F必是可分擴域。
