粘性解

數學中，粘性解是20世紀80年代早期由Pierre-Louis Lions和Michael Crandall作為對偏微分方程（PDE）經典解的擴展而引入的。粘性解在PDE的許多套用中作為解是非常自然的，例如最佳化控制中的一階偏微分方程（Hamilton-Jacobi-Bellman equation），differential game中（Isaacs equation），前端演化問題（front evolution problem）[1]，還有二階方程，例如在隨機最佳化控制或隨機微分博弈（stochastic differential game）中出現的。

基本介紹

• 中文名：粘性解
• 外文名：Viscous solution
• 學科：數學
• 提出者：Pierre-Louis Lions

概念

數學中，粘性解是20世紀80年代早期由Pierre-Louis Lions和Michael Crandall作為對偏微分方程（PDE）經典解的擴展而引入的。粘性解在PDE的許多套用中作為解是非常自然的，例如最佳化控制中的一階偏微分方程（Hamilton-Jacobi-Bellman equation），differential game中（Isaacs equation），前端演化問題（front evolution problem）[1]，還有二階方程，例如在隨機最佳化控制或隨機微分博弈（stochastic differential game）中出現的。

經典的概念是在域中PDE

有解，如果我們能找到在整個域上連續且可微的函式u(x)，使得x, u和Du（u的微分）在每個點都滿足上面的等式。

定義

在粘性解的意義下，u不需要在每個點都可微。可能在有些點上不存在，即u中存在扭結（kink）但u在適當意義下滿足等式。雖然在某個點上可能不存在，但可以使用下面定義的上微分（superdifferential）和下微分（subdifferential）代替。

定義1：

定義2：

一般地，集合中的每個p是u在x0"斜率"（slope）的一個上界，集合中每個p是u在x0"斜率"（slope）的一個下界。

定義3：連續函式u是上面PDE的一個粘性上解（viscosity supersolution），如果滿足

定義4：連續函式u是上面PDE的一個粘性下解（viscosity supersolution），如果滿足

定義5：連續函式u是PDE的一個粘性解如果它既是粘性上解又是粘性下解。