範疇性(categoricity)是理論的某個基數的模型都同構的一種特性。設L為一可數語言，T是L中的完全理論。如果T恰有一個可數模型(在同構意義下)，則稱T為ω範疇的。
基本介紹
- 中文名：範疇性
- 外文名：categoricity
- 領域：數學
- 學科：模型論
- 概念：某個基數的模型都同構
- 性質：範疇理論必為完全理論
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概念
範疇性(categoricity)是理論的某個基數的模型都同構的一種特性。設L為一可數語言，T是L中的完全理論。如果T恰有一個可數模型(在同構意義下)，則稱T為ω範疇的。下列條件是等價的：
1.T是ω範疇的。
2.T有一模型U，它既是可數飽和模型，又是可數素模型。
3.對每一正整數n，L中每一個與T協調的型Γ(x1，x2，…，xn)中都含有對T完全的公式。
4.對每一正整數n，L中只有有限多個與T協調的型Γ(x1，x2，…，xn)。
5.對每一正整數n，在T下只有有限多個互不等價的公式φ(x1，x2，…，xn)。
6.T的每一模型都是原子模型。
設有語言L的理論T，如果某個基數α的所有模型都是同構的，則稱該理論為α範疇的。如果一個理論T的所有模型都是同構的，則稱該理論為範疇的。從範疇性的角度討論，存在四類理論：
1.對每個無限基數都是範疇的。
2.ω範疇而對任意不可數基數k，非k範疇。
3.對每一不可數基數範疇而非ω範疇。
4.對每個無限基數都不是範疇的。
如果T是一個範疇理論，則T只可能有有限模型，範疇理論必為完全理論。
基數
亦稱勢。公理集合論的基本概念之一。是度量集合大小的量。在德國數學家康托爾(Cantor，G.(F.P.))之前，無窮只是一個很模糊的概念，人們無法區分兩個無窮集的大小。1873年，康托爾發現自然數集與實數集之間不存在一一對應的關係，由此意識到可以用一一對應作為度量無窮集合大小的尺度。他把集合的大小稱為集合的勢，記為x'，x為一集合。並且他定義，若集合A與集合B之間可建立一一對應關係，則稱A與B等勢，記為A≈B。然而康托爾對勢沒有作非常嚴格的定義，而將集合的勢定義為從集合中抽去元素特性及順序特性得出的一般概念。德國數學家、數理邏輯學家弗雷格(Frege，(F.L.)G.)與英國數理邏輯學家羅素(Russell，B.A.W.)將集合的基數(勢)定義為在等勢關係下該集合所在的等價類。這一定義雖然比較嚴格，但這樣定義的基數不是ZF公理集合論中集合的基數。在ZF公理集合論中，按如下方法定義集合x的基數|x|：
1.若x是可良序化的，則定義|x|為最小的與x等勢的序數。
2.若不然，則定義|x|為與x等勢的真類中所有具有最小秩的元素的全體所組成的集合。
如果某個集合的基數是a，則如此定義的基數滿足|x|=|y|，若且唯若x≈y。定義1是由美籍匈牙利數學家馮·諾伊曼(von Neumann，J.)於1928年引入的；定義2則是上述弗雷格與羅素思想的翻版。如果存在從集合x到y的單射，則定義|x|≤|y|。如果|x|≤|y|且|y|≤|x|，則|x|=|y|。這就是著名的康托爾-伯恩施坦定理。對於任意的集合x和y，有|x|≤|y|或者|y|≤|x|，若且唯若選擇公理成立。可良序化的集合的基數稱為良序基數。每一個良序基數都是序數.因此，若設定某一選擇公理，則每一個基數都是序數.對任意的序數α，存在大於α的最小良序基數，記為α。由此可見，所有的良序基數構成序數全域的一個無界的子類，即為真類。因此，可以定義一個從序數全域到所有無窮良序基數構成的真類上的保序映射，使得ᗄα<β((α)<(β))，式中讀做“阿列夫”。還常用Nα代替(α)，表示第α個無窮良序基數，用ωα表示α的序型，故N0=Nω0=Nω，Nα+1=ωα+1=Nα。若α為極限序數，則Nα=ωα=sup{ωρ|ρ∈α}。Nα是極限基數，若且唯若α是極限序數。
同構
兩個數學系統(例如兩個代數系統)，當它們的元素及各自所定義的運算一一對應，並且運算結果也保持一一對應，則稱這兩個系統同構，記為≌。它們對於所定義的運算，具有相同的結構。例如，十進制數與二進制數是同構的。
建立同構關係的映射，稱為同構映射。例如，當映射為一一映射，並且對應元素關於運算保持對應時，就是同構映射。
同構是數學中最重要的概念之一。在很多情況，一個難題往往可以化成另一個同構的、似乎與它不相關的、已經解決的問題，從而使原問題方便地得到解決。雖然數學發展得越來越複雜，但利用同構概念，不僅使數學得到簡化，而且使數學變得越來越統一。表面上似乎不同，但本質上等價的結果，可以用統一的形式表達出來。例如，如果四色定理得到了證明，其他數學分支中與它同構的幾十個假設，也同時得到了證明。
模型論
指研究形式語言與其解釋(模型)之間的相互關係的學科。它是一個年輕的學科，既屬於數理邏輯發展的一個分支學科，又屬於數學基礎理論研究的一個分支學科。它的早期發展，取得了三個著名的成果：(1)勒文海姆定理。勒文海姆1905年證明，設σ是帶等詞的一階邏輯中的語句(即不含自由個體變元的公式)，那么，由它具有無窮模型(即存在一個無窮結構μ，使得σ在μ上真，記作μ1=σ)，推出它具有可數模型。(2)緊緻性定理。哥德1930年證明，如果∑為一可數，語言中的語句集合，那么，由∑在任意一個語句集合，那么，由∑的每個有窮子集合具有模型，可推出∑本身也具有模型。(3)莫利範疇性定理。莫利1965年證明，如果∑為一個不可數勢上的範疇性可以推出∑在一切不可數勢上的範疇性。這裡所謂∑在一個勢a上為範疇的，是指它的任意兩個勢為a的模型均是同構的。
模型論直到五年年代才成為一門單獨的學科。近代數學，特別是抽象代數中提出的各種結構，如五階巡環群、有理數域、所有由整數組成的各種集合以包含關係為序的偏數系統等都可以叫做模型或結構為對象、研究其同態、子模型(或子結構)、自由結構和直積等的學科叫做泛代數學。泛代數學與模型論的界線已不甚分明。一般認為，在泛代數學中用來刻劃模型或結構的各種性質的語言並不是形式語言，如果採用形式語言並引用數理邏輯所獲得的成果，則得到模型論。因此有如下的公式：泛代數學+邏輯學=模型論。特別有：泛代數學+帶等詞的一階邏輯=經典模型論。
經典模型論是最基本的也是研究得最充分的模型論。它既是其他類型模型論的前提，又是象非標準分析這樣一些方法套用的前提。1950年以來，在漢金、魯濱遜及塔爾斯基等人的倡導下，模型論發展得非常快，並獲得了廣泛的套用。
