等角螺線

等角螺線，指的是臂的距離以幾何級數遞增的螺線。設 L 為穿過原點的任意直線，則 L 與等角螺線的相交的角A永遠相等（故其名），而此值為 arccot(b)。

基本介紹

• 中文名：等角螺線
• 外文名：equiangular spiral, logarithmic spiral
• 來自：dufei
• 形式： 螺線
• 學科：數理科學

定義

等角螺線、對數螺線或生長螺線是在自然界常見的螺線，在極坐標系(r, θ)中，這個曲線可以寫為

或

因此叫做“對數”螺線

定理

推出： ，推出：角 。設 C 為以原點為圓心的任意圓，則 C 與等角螺線的相交的角永遠相等，而此值為 ，名為「傾斜度」

等角螺線是自我相似的；這即是說，等角螺線經放大後可與原圖完全相同。

等角螺線的漸屈線和垂足線都是等角螺線。

從原點到等角螺線的任意點上的長度有限，但由該任意點出發沿等角螺線走到原點卻需繞原點轉無限次。這是由 Torricelli 發現的。（指數函式的取值範圍為負無窮到正無窮，x軸是漸近線，因此極徑r永遠不會等於0，也即無法到達原點o）

建造等角螺線

在複平面上定義一個複數 ，其中 ，那么連起 z、z²、z³…… 的曲線就是一條等角螺線。

若 L 是複平面中的一條直線且不平行於實數或虛數軸，那么指數函式 ez 會將這些直線映像到以 0 為中心的等角螺線。

使用黃金長方形：

自然現象

鸚鵡螺的貝殼像等角螺線

菊的種子排列成等角螺線

鷹以等角螺線的方式接近它們的獵物

昆蟲以等角螺線的方式接近光源

蜘蛛網的構造與等角螺線相似

旋渦星系的旋臂差不多是等角螺線。銀河系的四大旋臂的傾斜度約為 12°。

低氣壓(熱帶氣旋、溫帶氣旋等)的外觀像等角螺線

歷史

等角螺線是由笛卡兒在1638年發現的。雅各布．伯努利後來重新研究之。他發現了等角螺線的許多特性，如等角螺線經過各種適當的變換之後仍是等角螺線。他十分驚嘆和欣賞這曲線的特性，故要求死後將之刻在自己的墓碑上，並附詞「縱使改變，依然故我」(eadem mutata resurgo)。可惜雕刻師誤將阿基米德螺線刻了上去。

等角螺線又稱為對數螺線。