等角半正多角形(equiangular semiregular polygon)亦稱等角半正多邊形，是一種特殊的凸多邊形，邊數為偶數，相間的邊相等，且所有的角都相等的凸多角形稱為等角半正多角形。
基本介紹
- 中文名：等角半正多角形
- 外文名：equiangular semiregular polygon
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：平面幾何(多邊形)
- 別稱：等角半正多邊形
基本概念,相關結論,定理1,定理2,
基本概念
凸多角形，若它的所有邊都等，且所有角都等，則叫做正多角形。
同樣，局部凸的星形多角形，若它的所有邊都等且所有角都等，則叫做正星形多角形。
正多角形的概念可作如下的推廣。
邊數為偶數的凸多角形，假若其中相間的邊相等且所有角都等，則叫做等角半正多角形。如圖1，在六邊形ABCDEF中，AB=CD=EF，BC=DE=FA，且∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，因而它是等角半正多角形。
圖1邊數為偶數的局部凸的星形多角形，若其中相間的邊相等且所有角都等，則叫做等角半正星形多角形(例如圖2的八角形)。
圖2同樣，凸的或星形的等邊半正多角形，可以被定義如下：頂點數必須是偶數，所有邊都等，相間的角相等；這時若是星形多角形還要假定它是局部凸的(例如，圖3的六角形、圖4的十角形)。
圖3
圖4相關結論
定理1
任意(凸的或星形的)正多角形或等角半正多角形可有一外接圓。
圖5證明 假設A，B，C，D是所研究的多角形的四個相連續的頂點(圖5)，O為三角形ABC的外接圓心。
三角形ABC與DCB相等(AB = DC，BC = CB，∠ABC=∠DCB)，因而三角形ABC的外接圓半徑OA = OB = OC，與三角形DCB的外接圓半徑相等。其次，二外接圓的圓心都線上段BC的垂直平分線上。最後，二圓心在直線BC的同側，因為A和D二點在該直線的同側(由於凸的或局部凸的多角形)。由此推得，圓周ABC與BCD的圓心重合。
可見通過三頂點A，B，C的圓周必通過點D，按照同樣的考察方法可知該圓周也通過其餘的頂點。
定理2
任意(凸的或星形的)正多角形或等邊半正多角形可有一內切圓。
證明 假設AB，BC，CD和DE(圖6)為一正多角形或等邊半正多角形相連續的四邊，K為直線AB和CD的交點，L為直線BC和DE的交點(如果相間而取的二邊，如AB與CD平行，則邊BC與DE亦將平行(因為這個多角形相間而取的角應相等)，點E與點A重合，我們便得一個菱形，對它來說，這定理也是正確的)。
圖6三角形BCK和DCL相等(BC = DC，∠KBC =∠LDC，∠KCB =∠LCD)，所以三角形BCK的邊BC外的旁切圓半徑等於三角形DCL的對應的旁切圓半徑，因為該二圓心在∠BCD的平分線CX上，所以該二圓心重合，因而兩圓周重合。
這樣就得到了與射線BA，DE以及與邊BC，CD相切的圓周，對於BC，CD，DE各邊以及次一邊EF重複同樣的論述時，我們相信，該圓周與邊DE及射線EF相切，等。
定理1及2系1 正多角形的外接圓心及內切圓心重合。
事實上，在這種情形下三角形OAB，OBC及OCD相等，因而外接圓心到各邊的距離相等。
系2 等角半正多角形，相間而取的邊與同一圓周相切，這樣就得到兩個圓周，它們的圓心與外接圓心重合。
事實上，在圖5上，三角形OAB與OCD相等，所以相間而取的邊到外接圓心的距離相等。
系3 等邊半正多角形，相間而取的頂點在同一圓周上，這樣就得到兩個圓周，它們的圓心與內切圓心重合。
事實上，在圖6上有OA=OC=OE，OB=OD。
