等邊半正多角形

等邊半正多角形

等邊半正多角形(equilateral semiregular polygon)亦稱等邊半正多邊形,是一種特殊的凸多角形。頂點個數為偶數,所有邊都相等,且相間的角相等的凸多角形稱為等邊半正多角形,若在六邊形ABCDEF中,AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠A=∠C=∠E,∠B=∠D=∠F,因而它是等邊半正多角形。

基本介紹

  • 中文名:等邊半正多角形
  • 外文名:equilateral semiregular polygon
  • 別稱:等邊半正多邊形
  • 所屬學科:數學
  • 所屬問題:平面幾何(多邊形)
基本概念,定義,相關概念,相關定理,

基本概念

定義

邊數為偶數的凸多邊形,假若其中所有的邊都相等,且相間的角相等,這個凸多邊形叫做等邊半正多邊形(邊半正多角形) 。
圖1  等邊半正多邊形(等邊半正多角形)圖1 等邊半正多邊形(等邊半正多角形)

相關概念

凸多邊形中,若它所有的邊都相等,且所有的角都相等,叫做正多邊形。
邊數為偶數的凸多邊形,假若其中相間的邊相等且所有角都相等,這個凸多邊形叫做等角半正多邊形(等角半正多角形)。
圖2 等角半正多邊形(等角半正多角形)圖2 等角半正多邊形(等角半正多角形)
局部凸的星形多邊形,若它的所有邊都相等,且所有角都相等,叫做正星形多邊形(正星形多角形),例如正五角星形。
邊數為偶數的局部凸的星形多邊形,若所有的邊相等,相間的角相等,叫做等邊半正星形多邊形(等邊半正星形多角形),邊數為偶數的局部凸的星形多邊形,若所有的角相等,相間的邊相等,叫做等角半正星形多邊形。

相關定理

定理1 等邊半正多邊形各角的平分線共點,這點到各邊等距離。
圖3圖3
證明 在等邊半正多邊形ABC......K中,設∠ABC、∠BCD的平分線相交於O,聯OA、 OD(圖3),因BC=CD,OC = OC,∠OCB=∠OCD,所以 △OCB≌△OCD,所以∠OBC=∠ODC,但∠OBC=1/2ABC,∠ABC=∠CDE,所以∠ODC=1/2∠CDE,所以O點也在∠CDE的平分線上,同理,O點也在其它各角的平分線上,所以等邊半正多邊形各角的平分線交於一點。因為角的平分線上的點到角的兩邊等距離,所以這點到各邊等距離。
定理2 任意(凸的或星形的)正多角形或等邊半正多角形可有一內切圓。
證明假設AB,BC,CD和DE(圖4)為一正多角形或等邊半正多角形相連續的四邊,K為直線AB和CD的交點,L為直線BC和DE的交點(如果相間而取的二邊,如AB與CD平行,則邊BC與DE亦將平行(因為這個多角形相間而取的角應相等),點E與點A重合,我們便得一個菱形,對它來說,這定理也是正確的)。
圖4圖4
三角形BCK和DCL相等(BC = DC,∠KBC =∠LDC,∠KCB =∠LCD),所以三角形BCK的邊BC外的旁切圓半徑等於三角形DCL的對應的旁切圓半徑,因為該二圓心在∠BCD的平分線CX上,所以該二圓心重合,因而兩圓周重合。
這樣就得到了與射線BA,DE以及與邊BC,CD相切的圓周,對於BC,CD,DE各邊以及次一邊EF重複同樣的論述時,我們相信,該圓周與邊DE及射線EF相切,等。
定理3 任意(凸的或星形的)正多角形或等角半正多角形可有一外接圓。
圖5圖5
證明假設A,B,C,D是所研究的多角形的四個相連續的頂點(圖5),O為三角形ABC的外接圓心。
三角形ABC與DCB相等(AB = DC,BC = CB,∠ABC=∠DCB),因而三角形ABC的外接圓半徑OA = OB = OC,與三角形DCB的外接圓半徑相等。其次,二外接圓的圓心都線上段BC的垂直平分線上。最後,二圓心在直線BC的同側,因為A和D二點在該直線的同側(由於凸的或局部凸的多角形)。由此推得,圓周ABC與BCD的圓心重合。
可見通過三頂點A,B,C的圓周必通過點D,按照同樣的考察方法可知該圓周也通過其餘的頂點。
定理2及3系1正多角形的外接圓心及內切圓心重合。
事實上,在這種情形下三角形OAB,OBC及OCD相等,因而外接圓心到各邊的距離相等。
2等角半正多角形,相間而取的邊與同一圓周相切,這樣就得到兩個圓周,它們的圓心與外接圓心重合。
事實上,在圖5上,三角形OAB與OCD相等,所以相間而取的邊到外接圓心的距離相等。
系3等邊半正多角形,相間而取的頂點在同一圓周上,這樣就得到兩個圓周,它們的圓心與內切圓心重合。
事實上,在圖4上有OA=OC=OE,OB=OD。
定理4正多邊形各邊的垂直平分線共點,各角的平分線共點,且這兩點是同一點。
推論正多邊形的中心到各頂點等距離,到各邊也等距離,並且中心角等於
( n為邊數)。
定理5等角半正多邊形各邊的垂直平分線共點,這點到各頂點等距離。

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