等截共軛點

等截共軛點(isotomic conjugate points)是三角形的特殊點之一，在△ABC中，設X與X′，Y與Y′，Z與Z′各是三條邊BC，CA，AB上的等截點，若AX，BY，CZ三線交於一點P，則AX′，BY′，CZ′三線也交於一點P′(或三線平行)，當P與P′存在時，點P與點P′稱為△ABC的等截共軛點，或稱它們關於△ABC互為等截共軛點。

基本介紹

• 中文名：等截共軛點
• 外文名：isotomic conjugate points
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：平面幾何(三角形)
• 簡介：三角形的特殊點之一

基本介紹

坐標△ABC中，BC邊上兩點B'，C'與BC邊的中點等距，則AB'，AC'稱為關於△ABC的BC邊的等截共軛線，當直線AX，AY；BX，BY；CX，CY分別為關於BC，CA，AB邊的等截共軛線時，X，Y兩點就稱為關於△ABC的等截共軛點。

相關定理

定理1

設在重心坐標系中，P=(a: β:γ)，則其等截共軛點P’為。

證明：

P=(a:β:γ)時，AP在BC邊上的跡D=(0: β: γ)，若D'是D的等截點，用定分比公式立得。

類似得到跡E，F的等截點E'，F'的坐標，。

故AD'，BE'，CF'交於一點Q，Q的坐標是。

熱爾崗點和奈格爾點就是四對等截共軛點。

在三線坐標中，P=(a: β:γ)，則P的等截共軛點Q的三線坐標是

等截共軛也有一個重要性質。

定理2

關於某三角形之等截共軛變換，將該三角形的外接二階曲線變成直線。

在ETC中，以等截共軛變換定義的幾何特徵點X_n，有，n=75，85，261，264，298～315，317～324，326～332，334～337，339～349，599，693，871，876，879，882，885，888，891，918，1 225～1 241，1 264～1 275，1 494，3 260～3 268，3 593，3 595等。

與等截共軛有關的幾何變換

下面是兩個與等截共軛有關聯的幾何變換。

SM點

有P和Q兩點在△ABC的外接圓上，P和Q的等截共軛點的連線，與Q和P的等截共軛點的連線交於一點，定義為P和Q的西姆松一摩西點，簡稱SM點，以SM(P，Q)記之，如圖1，若P和Q分別有重心坐標P=p:q:r和Q=u:v:w，那么

當P和Q以三線坐標給出：P=p: q:r和Q=u: v: w，那么

在ETC中，以SM點定義命名的特徵點有X₂₈₅₅~X₂₈₆₈。

Tg和Gt點

設X是不在△ABC三邊上的一個幾何特徵點，設g_X是X的等角共軛，t_X是X的等截共軛t_gX是gX的等截共軛，gtX是tX的等角共軛，Gt是直線X(tX)和(gX)(gtX)的交點，T_g是直線X(gX)和(tX)(tgX)的交點。

則A,B,C,gX,tX,T_g,Gt在同一條外接圓錐曲線上，該曲線是直線X(gtX)的等角共軛象，也是直線X(tgX)的等截共軛象。

若X的三線坐標是X=(x: y: z)，那么

在ETC中以Gt定義的幾何特徵點有X₃₁₁₃，X₃₁₁₅。以T_g定義的幾何特徵點有X₃₁₁₂，X₃₁₁₄。