兩條直線垂直的一個充要條件，即等差冪線定理。
基本介紹
- 中文名：等差冪線
- 同理，：BP^2 一BM^2 = PN^2 一MN^2．
- 證明：若直線PM⊥AB於N，則
- 充要條件：AP ^2一AM^2 =BP^2 一BM^2
術語簡介,實現過程,
術語簡介
等差冪線定理：
PM⊥AB的充要條件是：
若PM⊥AB，則有AP ^2一AM^2 =BP^2 一BM^2。
實現過程
證明：
AP^2 一AN^2 = PN^2；
AM^2 一AN^2 = MN^2．
以上兩式相減得
①
同理，
BP^2 一BM^2 = PN^2 一MN^2．②
由式①、②得
AP^2 一AM^2 = BP^2 一BM^2 ．③
證畢。
反之，若有AP ^2一AM^2 =BP^2 一BM^2成立，則PM⊥AB。
證明：設∠ANP=α，則∠BNP=π—α．
故AP^2 一AM^2
= AN^2 + PN^2 — 2AN·PNcosα+2AN·MNcosα一AN^2 一MN^2
= PN^2 一MN^2 一2AN·PNcosα+2AN·MNcosα．
BP^2 一BM^2
= PN^2 + BN^2 一2PN·BNcos(π—α) 一MN^2 一BN^2 + 2MN·BNcos(π—α)．
= PN^2 一MN^2 + 2PN·BNcosα一2MN·BNcosα．
由式③得
2AN·MNcosα一2AN·PNcosα
= 2PN·BNcosα一2MN·BNcosα，
即MN(AN + BN)cosα
= PN(AN + BN)cosα．
從而，(PN 一MN) cosα=0，即PM cosα=0．
因此，cosα=0．
又因為0<α<π，所以α= π/2．
故PM⊥AB．
