等傾割線(isoclinal secant line)是羅氏平面上的基本曲線之一，與共面二直線a，b相交成相等的同側內角的直線，稱為二直線a，b的等傾割線。在羅氏平面上，共面二直線有相交、平行、離散三種位置關係，過一直線上一定點都存在等傾割線AB，在相交情形有兩條等傾割線AB，AB′，在平行和離散的情形，這樣的割線是惟一的，交點A，B稱為等傾割線的端點。
基本介紹
- 中文名：等傾割線
- 外文名：isoclinal secant line
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：高等幾何(非歐幾里得幾何)
- 簡介：羅氏平面上的基本曲線之一
基本概念,相關定理及證明,
基本概念
設直線AB與共面兩條直線a，b相交於A，B兩點，若使得同側的內角契約，則稱直線AB為這兩條直線a，b的等傾割線。點A和點B稱為對應點。
相關定理及證明
定理1 設a，b為共面二直線，A為a上一點，則在b上必存在點A的對應點B，且當a，b不交時，A的對應點B是唯一的。
證明： 由表 1 所示：
(1)若a，b交於O，在b上點O之兩側取點B和B'，使OA≡OB且OA≡OB’，則線段AB，AB'均為a，b之等傾割線，故B，B'都是A的對應點。
(2)若a，b分散，則有公垂線A'B'。在b上取點B使B'B≡A’A且B與A落在公垂線同側，則四邊形AA'B'B是薩開里四邊形。故∠A'AB≡∠B’BA，所以AB為a，b的等傾割線。從而B為A的對應點。設B”為b上異於B的點，則由三角形外角定理可知：∠B’B”A“≠∠A'AB，所以AB”不是a，b的等傾割線，故B點唯一。
(3)若a，b平行。設平行方向為
，聯A及b上任一點B0，作AB0所截平行方向一側二內角之平分線，設它們交於點I，作
於M，作
於N，則IM=IN，從而∠AMN≡∠B0NM，在b上取NB≡MA且B與A落在MN同側，則△AMN≡△BMN(邊，角，邊)，從而△MAB≡△ABN(邊，邊，邊)，所以AB是a，b的等傾割線，故B為A的對應點，其唯一性的證明與(2)同。
定理2(等傾傳遞性定理) 若同一線束的三直線a，b，c各通過點A、B、C，且線段AB、AC都是等傾割線，則線段BC也是等傾割線。
證明 (1)當線束有中心O時(見圖1)，由於AB、AC都是等傾割線，所以∠OAB≡∠OBA，∠OAC≡∠OCA，從而OA≡OB≡OC所以∠OBC≡∠OCB．故BC也是等傾割線。
圖1
圖2
(2)當線束有底線u時，設A、B、C到u的垂線足各為A'、B’、C’(見圖2)。由於AB、AC都是等傾割線，所以∠A'AB≡∠B'BA，∠A'AC≡∠C'CA，從而AA’≡BB’≡CC’，所以∠B’BC≡∠C’CB，所以BC為等傾割線。
先證
，
在a異側時的情形(見圖3)。
若BC為非等傾割線，則可設∠BCC'>∠CBB'，於是∠C'CB內部有CC1使∠BCC1≡∠CBB'，由於∥，所以必交於一點C1，聯AC1，由於∠B'BA≡∠BAA'>∠BAC1，所以BC1<AC1，又∠C1AC>∠A'AC≡∠ACC’>∠ACC，所以AC1<CC1，故BC1<CC1，但由BCC1≡∠CBB’知BC1=CC1相矛盾。故BC是等傾割線。
圖3
圖4
再證，落在a同側時的情形(見圖4)。
設b在中間，由定理1知，直線c上有B之對應點C0，由上面已證之情形可知AC0必為等傾割線，即C，C0都是點A的對應點，由定理1知，點A的對應點是唯一的，所以C=C0，即BC為等傾割線。
