第一類馬蒂厄函式

第一類馬蒂厄函式（Mathieu function of the first kind）是馬蒂厄方程的周期解，周期為π或2π。馬蒂厄方程是特殊的希爾方程之一，在橢圓柱坐標系中求解亥姆霍茲方程時，可得到馬蒂厄方程。

基本介紹

• 中文名：第一類馬蒂厄函式
• 外文名：Mathieu function of the first kind
• 簡稱：馬蒂厄函式
• 周期：π或2π
• 一級學科：數學
• 二級學科：特殊函式
• 定義：馬蒂厄方程的周期解

簡介

第一類馬蒂厄函式(Mathieu function of the first kind)是馬蒂厄方程的周期解。在馬蒂厄方程中，若a取適當的值(本徵值)，而使特徵指數 μ （參見“希爾方程”）成為 0 或 i，相應地 u(z) 為以π或2π為周期的周期函式，稱為第一類馬蒂厄函式，簡稱馬蒂厄函式。根據它們的傅立葉展開形式，可以分為四種類型：

其中n=0,1,2,…相應的本徵值分別記為a_2n，a_2n+1，b_2n+1和b_2n+2，

這些馬蒂厄函式滿足正交歸一條件

當q→0時，

由於第一類馬蒂厄函式常出現在光波的橢圓柱面衍射問題中，故又稱橢圓柱函式。

馬蒂厄方程

馬蒂厄是特殊的希爾方程之一，即

其中 a 和 q 為常數。這個方程首先出現在馬蒂厄（Mathieu，E.L.）關於橢圓薄膜振動的工作中。在橢圓柱坐標系

中求解亥姆霍茲方程時，可得到馬蒂厄方程。