符號距離函式

符號距離函式（sign distance function），簡稱SDF，又可以稱為定向距離函式（oriented distance function），在空間中的一個有限區域上確定一個點到區域邊界的距離並同時對距離的符號進行定義：點在區域邊界內部為正，外部為負，位於邊界上時為0。

基本介紹

• 中文名：符號距離函式
• 外文名：Sign Distance Function
• 簡稱：SDF
• 類型：函式

定義

如果 是一個度量空間的子集，度量 ，則符號距離函式 由下式定義

1）如果 ， ；

2）如果 ， 。

其中， 表示邊界的 。對於任何 ，

其中 表示下確界。

在歐幾里得空間屬性

如果 是具有分段平滑邊界的歐幾里德空間 一個子集，那么帶符號的距離函式幾乎在任何地方都是可微的，並且它的梯度滿足方程

如果 的邊界對於 是 ，那么在充分接近 邊界的點上， 是 。尤其在邊界 滿足

其中 是內部法向矢量場。有符號距離函式因此是法向量場的可微分延伸。特別地， 邊界上的帶符號距離函式的Hessian給出了Weingarten映射。進一步，如果是一個足夠接近Ω邊界的區域，那么 是兩次連續可微分的，那么就存在一個明確的公式，該公式涉及Weingarten映射 _，用於根據有符號距離函式改變變數的雅可比矩陣和最近的邊界點。具體地，如果 是距離內的點的集合 的邊界的 （即管狀鄰域半徑的 ），並 是上一個絕對積函式Γ，然後

其中 表示行列式， 表示表面積分。

套用

例如，在計算機視覺中使用簽名的距離函式。如使用了一種方法（由Valve Corporation開發），使用GPU加速來渲染大尺寸（或者高DPI）的平滑字型。Valve的方法計算了光柵空間中的有符號距離場，以避免解決（連續）向量空間中問題的計算複雜性。最近已經提出了分段逼近解決方案（例如，近似具有弧形樣條的Bézier），但即使如此，計算對於實時渲染而言可能太慢，並且必須通過基於格線的離散化技術來近似（並從計算中剔除）到距離太遠的點的距離。