空間旋轉反射

空間旋轉反射(rotation reflection in space)是一種空間變換，如果f₁=ω(a，φ)是空間的一個旋轉角為φ的旋轉變換，a為旋轉軸，f₂是空間的一個面反射變換，反射面為α，當a⊥α時，變換積f₂·f₁稱為空間的旋轉反射變換；並且直線a稱為旋轉反射軸，α稱為旋轉反射面，a和α的交點O稱為旋轉反射心，φ稱為旋轉反射角。空間中三個面反射的積，當三個反射面恰有一個公共點時，就可以化為一個旋轉反射，其公共點就是旋轉反射心。旋轉反射屬於第二種契約變換，空間點反射是旋轉角為二直角時的旋轉反射，空間面反射是旋轉角為零的旋轉反射。

基本介紹

• 中文名：空間旋轉反射
• 外文名：rotation reflection in space
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：立體幾何（空間變換）
• 屬性：第二種契約變換

基本介紹

空間旋轉反射是指空間的旋轉反射變換，空間的旋轉反射與空間的面反射變換的乘積稱為空間的旋轉反射（變換），此變換屬於第二類契約變換。

空間旋轉變換是一種特殊的幾何變換，指空間的所有點繞同一直線旋轉同一角度的變換。旋轉變換簡稱旋轉，是歐氏幾何中的一種重要變換，即在歐氏平面上(歐氏空間中)，讓每一點P繞一固定點(固定軸線)旋轉一個定角，變成另一點P′，如此產生的變換稱為平面上(空間中)的旋轉變換，此固定點(固定直線)稱為旋轉中心(旋轉軸)，該定角稱為旋轉角。旋轉是第一種正交變換，在平面直角坐標系中，若旋轉中心為點M₀(x₀，y₀)，點P(x，y)繞M₀旋轉定角θ後變成點P′(x′，y′)，則平面上旋轉變換的代數表達式為

旋轉變換的逆變換也是旋轉變換，兩個繞同一點(同一軸線)的旋轉變換的乘積仍是旋轉變換，所有繞同一點(同一軸線)的旋轉變換的全體構成一個群，稱為旋轉群，在旋轉變換下，兩點間的距離與兩直線的交角均保持不變，旋轉變換的概念可以推廣到n維歐氏空間。繞O(0，0，…，0)點旋轉的代數表達式為

或用矩陣表示為：(x′_i)=(a_ij)·(x_i)，其中a_ij為常數，且(x′_i)，(x_i)均為n×1矩陣，矩陣(a_ij)是行列式等於1的正交矩陣。

鏡面反射變換簡稱鏡面反射或平面反射，歐氏空間中的一種特殊變換。在歐氏空間中，把任一點A映成關於給定平面π對稱的點A′的變換稱為關於平面π的鏡面反射變換，平面π稱為反射平面。鏡面反射是第二種正交變換。在鏡面反射變換下，連結變換的每一對對應點A，A′所得到的線段都垂直於反射平面π且被π所平分，平面π上的點都是不動點，鏡面反射變換在直觀上相當於把平面π看做一面鏡子，變換前後的對應點就好比是物與像那樣，在空間直角坐標系中，若把坐標平面xOy取為反射平面，則鏡面反射變換的代數表達式為

其中(x，y，z)，(x′，y′，z′)分別是變換前的點與變換後它的對應點的坐標。

相關介紹

如果一個圖形F在契約變換f下對應於圖形F',那么稱圖形F與F'契約。

我們不難發現，契約變換下，兩個對應圖形F與F'的邊界方向(順時針方向或逆時針方向)或者是一致的，或者是反向的。因此，按照對應圖形的邊
界方向可以將契約變換分為兩類：將使得對應圖形F與F'的邊界方向相同的契約變換稱為第一類契約變換(如圖1)，而將使得兩個對應圖形F與F’邊界方向相反的契約變換稱為第二類契約變換(如圖2)。因而，我們將在第一類契約變換下的對應圖形F與F‘稱為真正契約，而把第二類契約變換下的對應圖形F與F'稱為鏡像契約。

圖1

圖2

利用上述分類方式，我們容易得到，平移變換、旋轉變換(即兩個反射變換的乘積)是第一類契約變換，而反射變換是第二類契約變換。

既然平移變換、旋轉變換是兩個反射變換的乘積變換，那么(自然的思考)，契約變換是否也是幾個反射變換的乘積變換呢?

我們猜測並可以證明：

性質1 任一契約變換至多可以表示為三個反射變換的乘積。

圖3

證明 設契約變換ω由三對不共線的對應點A與A'，B與B'，C與C'所確定(圖3)。

作AA’的垂直平分線 ，那么，在以 為反射軸的反射變換下，△ABC變為△A'B₁C₁(若點A與A'重合，則沒有必要施行 )。此時，AB=A'B₁=A'B'。

再作線段B₁B'的垂直平分線 ，則點A'必在 上，以 為反射軸的反射變換 將△A'B₁C₁
變為△A'B'C₂(如果B₁與B'重合，也沒有必要施行變換 。此時A'C'=AC=A'C₁=A'C₂，B'C'=BC=B₁C₁=B'C₂。

最後作線段C'C₂的垂直平分線 ，點A'、B'必在直線 上。在反射變換 的作用下，△A'B'C₂變為△A'B'C'(若點C'與C₂重合，則不必施行變換 ，於是，

即

綜上所述，對於第一類契約變換，總可以表示為兩個反射變換的乘積；對於第二類契約變換，總可以表示為一個反射變換或三個反射變換的乘積，於是得下表：

圖4