空間域銳化

空間域銳化濾波，是將圖像的低頻部分減弱或去除，保留圖像的高頻部分，即圖像的邊緣信息。

基本介紹

• 中文名：空間域銳化
• 外文名：Spatial sharpening
• 套用領域：數字圖像處理
• 套用：銳化空間濾波器、圖像銳化
• 語言環境：matlab
• 方法：梯度銳化法

定義

空間域銳化濾波，是將圖像的低頻部分減弱或去除，保留圖像的高頻部分，即圖像的邊緣信息。

運算元

運算元是一個函式空間到函式空間上的映射O：X→X。廣義上的運算元可以推廣到任何空間，如內積空間等。

四種差分運算元

• Roberts運算元
  
• Sobel運算元
  
• Prewitt運算元
  
• Laplace運算元
  

Roberts運算元銳化濾波

（1）Roberts運算元

設圖像函式為F(x,y)，點(x,y)的梯度定義為：

梯度的幅值定義為：

對於離散圖像，我們需要用差分近似表示微分，那么得到近似梯度幅度為：

交叉一階差分，得到Roberts運算元：

（2）代碼實現

Roberts運算元涉及絕對值運算，我們不方便提取出模版來做模版卷積運算，那么直接遍歷所有點求出其近似梯度幅值：

I=imread('C:\圖像\bridge.gif');

subplot(2,2,1),imshow(I)

title('原始圖像')

hx=[-11]; %生成Sobel垂直梯度模板

hy=hx';%生成Roberts水平梯度模板

gradx=filter2(hx,I,'same');

gradx=abs(gradx); %計算圖像的Roberts垂直梯度

subplot(2,2,2),imshow(gradx,[])

title('圖像的Roberts垂直梯度')

grady=filter2(hy,I,'same');

grady=abs(grady); %計算圖像的Roberts水平梯度

subplot(2,2,3),imshow(grady,[]);

title('圖像的Roberts水平梯度');

grad=gradx+grady; %得到圖像的Roberts梯度

subplot(2,2,4),imshow(grad,[]);

title('圖像的Roberts梯度');

邊界點無法按照Roberts運算元求交叉差分，這裡採取直接忽略邊界的方式。需要注意的是把類型強制轉換為uint8（abs默認返回double）。

Sobel運算元銳化濾波

（1）Sobel運算元

Roberts運算元是基於2*2視窗計算近似梯度，而Sobel運算元是基於3*3視窗計算近似梯度的，並且Sobel運算元並不是各向同性的運算元，它分為：

• 水平邊緣檢測Sobel運算元gx
  
• 垂直邊緣檢測Sobel運算元gy
  

先給出模版再說明近似梯度的原因：

gx之所以近似表示水平梯度，是因為它直接求的是3*3視窗內模版中心像素點附近的像素點水平差分之和，中間元素差分乘以了權重係數2表示和模版中心關聯度更高。gy可以類似理解。

運用模版卷積運算，可以快速求出水平梯度：

Gx=gx⋅F3×3

Sobel運算元考慮權重，因此抗噪能力優於無權重的Prewitt運算元（見後）。

在求出了水平梯度Gx和垂直梯度Gy後，可以得到梯度幅值為：

G=(Gx)2+(Gy)2

（2）代碼實現

為了節約運算量，一般在實現Sobel運算元時不直接使用求模運算（平方和再開方），而是比較Gx和Gy中絕對值較大者（水平差分和垂直差分較大者），也就是選取邊界輪廓更加明顯的方向。

I=imread('C:\圖像\bridge.gif');

subplot(2,2,1),imshow(I)

title('原始圖像')

hx=[-1 -2 -1;0 0 0;1 2 1]; % 生成Sobel垂直梯度模板

hy=hx'; % 生成Sobel水平梯度模板

gradx=filter2(hx,I,'same');

gradx=abs(gradx); % 計算圖像的Sobel垂直梯度

subplot(2,2,2),imshow(gradx,[])

title('圖像的Sobel垂直梯度')

grady=filter2(hy,I,'same');

grady=abs(grady); % 計算圖像的Sobel水平梯度

subplot(2,2,3),imshow(grady,[]);

title('圖像的Sobel水平梯度');

grad=gradx+grady; % 得到圖像的Sobel梯度

subplot(2,2,4),imshow(grad,[]);

title('圖像的Sobel梯度');

還是需要注意：

• 做卷積時用Matlab點乘
  
• uint8類型轉換
  

4.Prewitt運算元銳化濾波

• 前面提到過，Prewitt是Sobel運算元的無權重版本，模版如下：
  

• 直接修改模版即可：
  I=imread('C:\圖像\bridge.gif');
  subplot(2,2,1),imshow(I)
  title('原始圖像')
  hx=[-1 -1 -1;0 0 0;1 1 1]; % 生成Prewitt垂直梯度模板
  hy=hx'; % 生成Prewitt水平梯度模板
  gradx=filter2(hx,I,'same');
  gradx=abs(gradx); % 計算圖像的Prewitt垂直梯度
  subplot(2,2,2),imshow(gradx,[])
  title('圖像的Prewitt垂直梯度')
  grady=filter2(hy,I,'same');
  grady=abs(grady); % 計算圖像的Prewitt水平梯度
  subplot(2,2,3),imshow(grady,[]);
  title('圖像的Prewitt水平梯度');
  grad=gradx+grady; % 得到圖像的Prewitt梯度
  subplot(2,2,4),imshow(grad,[]);
  title('圖像的Prewitt梯度');
  

5.Laplace運算元銳化濾波

（1）Laplace運算元

之前的三個運算元都是一階梯度運算元，最後介紹一個二階梯度運算元：Laplace運算元，二維空間的laplace運算元定義為各向同性的二階導數和：

圖像中用二階差分來近似二階梯度：

所以有

由此得到Laplace運算元的模版：

（2）代碼實現

I=imread('C:\圖像\bridge.gif');

subplot(2,2,1),imshow(I)

title('原始圖像')

hx=[0 1 1;1 -4 1;0 1 0]; % 生成Laplacia垂直梯度模板

hy=hx'; % 生成Laplacia水平梯度模板

gradx=filter2(hx,I,'same');

gradx=abs(gradx); % 計算圖像的Laplacia垂直梯度

subplot(2,2,2),imshow(gradx,[])

title('圖像的Laplacian垂直梯度')

grady=filter2(hy,I,'same');

grady=abs(grady); % 計算圖像的Laplacia水平梯度

subplot(2,2,3),imshow(grady,[]);

title('圖像的Laplacia水平梯度');

grad=gradx+grady; % 得到圖像的Laplacia梯度

subplot(2,2,4),imshow(grad,[]);

title('圖像的Laplacia梯度');