穩定集

穩定集(stable set;stationary sets)有多個義項。一個是指多人合作對策的一種解集；另一個是指微分動力系統中與穩定流形相關的的穩定集；還指集合論中的一種特殊的集合：如果集合S⊆K對K的任何閉無界子集C都有S∩C≠∅，則稱S在K中穩定，每個閉無界集是穩定的，並且若S是穩定的，S⊆T⊆K，則T也是穩定的，存在不含閉無界子集的穩定集。

基本介紹

• 中文名：穩定集
• 外文名：stable set;stationary sets
• 所屬學科：數學
• 相關概念：多人合作對策，穩定流形等

合作對策

穩定集(stable set)是多人合作對策的一種解集，滿足下列條件的分配方案構成的集合稱為穩定集：

1.若分配方案，則x不能優超y，y也不能優超x；

2.若，則存在，使得。

這裡，條件1可防止不同部分對策人利益衝突引起分裂，稱為內穩定條件；而條件2則強調以外的分配方案可不必考慮，稱為外穩定條件，這些條件均比芯的要求弱，因而有，穩定集條件較弱，但仍不能保證它必存在。為此人們又提出了核的概念，它永遠存在惟一而且只要芯存在，它必為芯的一部分。為計算核，先要計算各子集對於分配向量x的餘量，亦即結盟時所得比按x分配時增加的好處，而好的分配向量應使這種餘量儘可能小.通過比較複雜的比較程式可得到餘量最小的分配，向量就稱為多人對策特徵函式和給定的可取分配向量集的核。其他的重要概念，如夏普利值，反映決策人i在博弈V中可預期獲得的收益。在諸如聯合國安理會投票的模型中，它反映了各成員(常務和非常務理事國)間實質上的權力分配，有重要實際意義。

此外還有核心、支付模式等概念，均探討結盟的可能性及其分配方案，所有這些在社會經濟管理中，如社會權利和義務的分配，均有重要套用。

微分動力系統

穩定流形

穩定流形和不穩定流形在結構穩定性、Ω穩定性以及分歧理論等許多課題的研究中起著十分重要的作用，穩定流形與不穩定流形的方法是當前研究微分動力系統結構穩定性等問題的三個主要方法(即泛函分析法、穩定流形法以及典範方程組法)之一。穩定流形本身的理論也是微分動力系統研究的重要內容，作為穩定流形推廣的穩定集也在拓撲動力系統的研究中發揮著重要的作用。

所謂一點的穩定流形，是指在同步意義下正半軌和過點的正半軌具有相同的極限性質的那些點集，該點集構成系統所在相空間——微分流形的子流形。

與不穩定集

設是一度量空間，是同胚，對任意，集合

分別稱為在點處的穩定集和不穩定集。對任意，集合

分別稱為在點處(尺度為ε的)局部穩定集和局部不穩定集。明顯的有

並且對任意，有

對於連續流，有類似的定義如下：設是M上的連續流，對任意，集合

稱為φ在點處的穩定集。類似地，分別稱為φ在點處的不穩定集、(尺度為ε的)局部穩定集和局部不穩定集。

記為φ過點的軌道，集合

分別稱為φ的過點軌道的穩定集和不穩定集。顯然，若是同胚(連續流φ)的不動點，則與與分別是由以為ω極限集和以為α極限集的點組成；若是φ的周期軌道，則和分別是由以為ω極限集和以為α極限集的點組成。

穩定流形定理

設M是黎曼流形，是微分同胚，是的緊緻雙曲不變集，海爾士(Hirsch，M.W.)和皮尤夫(Pugh，C.)證明了重要的穩定流形及不穩定流形定理：若是由的雙曲性所決定的連續直和分解，則存在ε>0，使得對任意的，局部穩定集是與切於x的嵌入k維圓盤(這裡)；局部不穩定集是與切於x的嵌入維圓盤(這裡)，並且，當在中變化時，這兩族圓盤分別依變化而連續變化。該定理表明：局部穩定集和局部不穩定集都是嵌入子流形，因而穩定集和不穩定集是浸入子流形，這樣一來，就有理由稱局部穩定集和局部不穩定集為局部穩定流形和局部不穩定流形，對M上的向量場情形，其穩定流形與不穩定流形定理的內容與微分同胚情形完全類似，作為特殊情況，當僅由一個不動點(奇點)組成時，這就是雙曲不動點(雙曲奇點)的穩定流形與不穩定流形定理。例如，設是巴拿赫空間，是雙曲線性映射，是由A決定的直和分解，於是有

若令，則