穩定多項式恆等式

穩定多項式恆等式(stable polynomial identity)是對多項式擴張仍保持的恆等式。環R的一個恆等式f，若對R的多項式擴張環R[λ]，f也是恆等式，則稱f為R穩定。若對每個使f為恆等式的環R，f皆R穩定，則稱f為穩定多項式恆等式。

基本介紹

• 中文名：穩定多項式恆等式
• 外文名：stable polynomial identity
• 領域：數學
• 學科：環論
• 性質：恆等式
• 概念：對多項式擴張仍保持

定義

穩定多項式恆等式(stable polynomial identity)是對多項式擴張仍保持的恆等式。環R的一個恆等式f，若對R的多項式擴張環R[λ]，f也是恆等式，則稱f為R穩定。若對每個使f為恆等式的環R，f皆R穩定，則稱f為穩定多項式恆等式。類似地，可對有對合環(環R的反自同構*使得*=1(恆等自同構)，稱*為R的對合)(R，*)定義*穩定：(R，*)的一個多項式恆等式f，若也為(R[λ]，*)的恆等式，則稱f為(R，*)穩定。若*多項式f對每個以f為恆等式的對合環(R，*)皆為(R，*)穩定，則稱f為*穩定。R穩定的和仍為R穩定；(R，*)穩定的和仍為(R，*)穩定。

環的介紹

環是對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環。例如，若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集：

的全體構成的集類，則F是R上的一個環.環也是對於交與對稱差運算封閉的集類，並按這兩種運算成為布爾環。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質。環以及半環、σ環、代數、σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。

合環

合環是一類特殊環。對於一個雙模，若它有一個合成列且其中的合成因子都是平衡雙模，則稱它是正合的。若對環R而言，_RR_R是平衡雙模，則稱環R為正合環。

正合模的概念是東屋五郎(Azumaya，G.)為了研究序列環於1983年提出的。卡米羅(Camillo，V.P.)、富勒(Fuller，K.R.)和哈克(Haack，J.K.)在這基礎上引進了正合環的概念。阿廷序列環是正合的，哈比卜(Habeb，J.M.)於1987年證明了阿廷雙環是正合的。東屋五郎曾提出猜想：正合阿廷環是自對偶環。狄斯勤格(Dischinger，F.)和繆勒(Mu¨ller，W.)於1984年以及瓦什標什(Waschbu¨sch，J.)於1986年證明了對於阿廷序列環，薛衛民於1989年證明了對於雅各布森根的平方為0的阿廷雙環猜想是成立的。

環論

環論是研究環的性質及其運算規律的代數分支學科。近代環論也包含了非結合代數。“環”是抽象代數研究中的基本對象之一。

環和理想的構造在19世紀已為人熟知，並套用在戴德金(Dedekind，R.)和克勞尼克(Kronecker， L.)等關於代數數的著作中。克勞尼克(Kronecker，L.)將環稱為“order”，希爾伯特(Hilbert，D.)才引進了“ring (環)”這一詞。但是抽 象的理論是在20世紀發展起來的。至諾德愛米(Noether，N.)將其置於系統化和公理化的基礎上。

環論和群的概念有密切關係， 設S是一個集合，它在加法之下 構成Abel群，在乘法運算之下是 半群，對加法滿足分配律，即對：

∀a， b， c∈S

a(b+c)=ab+ac

(a+b)c=ac+bc

在環中，對乘法而言

ab=0⇏a=0或b=0如果有a∈S， 存在b∈S，使ab=0 (ba=0)，則 說a是S中的一個左 (右) 零因 子。不含零因子的交換環稱為整環。數域上的多項式環也是整環。 n階矩陣環則不是整環。

正如不變子群在群的研究中所起作用一樣，理想的概念對環的研究至關重要。對環S中的非空子集 A，如果A關於S中的兩種運算構成環，則A是S的子環。進一步， 對S中的子環A， 如果∀_m∈S， a∈ A，有xa，ax∈A，則A稱為環S的一個理想。顯然S中理想的交集仍是S的理想，當A是環S的一個理想時，由加法運算作出商群 S/A，此商群對乘法而言，易證其為半群，從而S/A構成環，稱為商環，或稱S關於A的剩餘類環。

環的同態和同構是研究環的重要工具。