直角射影定理(projection theorem of a rightangle to a plane)是立體幾何的重要定理之一，一直角在平面上的(正)射影為直角的充分必要條件是：原直角至少有一邊平行於該平面或在該平面內且另一邊不與平面垂直。
基本介紹
- 中文名：直角射影定理
- 外文名：projection theorem of a rightangle to a plane
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：立體幾何
基本介紹,相關分析,
基本介紹
直角射影定理：一個直角在一個平面上的射影仍是直角的充要條件是：它至少有一邊平行於射影平面。如圖1，∠ABC=90°(即AB⊥BC)，M為射影平面，∠ABC在平面M上的射影為∠A'B'C'，直角射影定理告訴我們：如果BC//平面M或AB//平面M，則∠A'B'C'=90°；反之，如果∠A'B'C'=90°，則可斷定邊AB、BC中至少有一邊與平面M平行。
圖1相關分析
直角射影定理：一個直角投影為直角的充要條件是：它至少有一邊平行於射影平面。
圖2(1)設∠AOB(圖2)為直角，它的邊OB平行一平面P，而它在這平面上的射影是∠aob。平行於OB的直線ob和兩條相交線OA，Oo垂直，因此它垂直於平面OAao，因而也垂直於oa。
(2)設直角∠AOB投射在平面P上成直角∠aob，因直線ab垂直於oa和Oo，故它垂直於平面OAao，因而垂直於OA，由於OA也垂直於OB，若設OB和ob不相平行，OA就垂直於平面OBbo、因而(根據下面的定理的推論1)平行於平面P。在相反的情況下，與平面P平行的是OB。
定理1若兩平面垂直，則在一平面上所引它們交線的垂線必垂直於另一平面。
圖3設P.xy.Q(圖3)為一直二面角，並設OA是在平面P上所引垂直於xy的直線，這直線OA可視為二面角PQ的平面角的一邊，因之垂直於這角的第二邊，它既已垂直於xy，就垂直於平面Q了，證畢。
上面定理的假設可看做由兩部分構成，即(1)兩平面P和Q互相垂直；(2)交線的垂線OA位於平面P上。
因此這定理有兩個逆定理。
第一逆定理一平面若含第二平面的一條垂線，則垂直於第二平面。
若平面P含平面Q的垂線OA，它就與平面Q垂直，因為二面角PQ的平面角∠AOB是直角。
第二逆定理 若兩平面垂直，則由一平面上一點引另一平面的垂線，必整個含在第一平面上。
設平面P和Q垂直，從平面P上一點A所引平面Q的垂線，其實就是由點A所引兩平面交線的垂線。
推論1 推廣言之，若一平面平行於另一平面的一條垂線，則必垂直於此平面。
若平面P平行於平面Q的一條垂線D，則必含D的一條平行線，於是垂直於Q(第一逆定理)。
垂直於同一平面的直線和平面彼此平行，因為其中一個含(第二逆定理)另一個的一條平行線。
圖4推論2 若兩相交平面垂直於第三平面，則其交線垂直於這第三平面。
設兩平面Q和R(圖4)都垂直於P，而A為其公共點之一，則由點A所引P的垂線含於Q及R上(第二逆定理)，因此這垂線就是它們的交線。
