皮亞諾存在性定理

在數學中, 特別是在常微分方程的研究中，皮亞諾存在定理（又稱為皮亞諾定理、柯西-皮亞諾定理）是以數學家朱塞佩·皮亞諾的名字命名的一個定理。這個定理是常微分方程研究中的基本定理之一，保證了微分方程在一定的初始條件下的解的存在性。

基本介紹

• 中文名：皮亞諾存在性定理
• 外文名：Peano existence theorem
• 提出人：朱塞佩·皮亞諾
• 套用領域：常微分方程、微積分

發展歷史

這個定理最早由數學家朱塞佩·皮亞諾在1886年發表，但是他給出的證明是錯誤的。1890年他又發表了一個正確的運用逐次逼近法的證明。

定理

設 為 的一個開子集，以及一個連續函式：

皮亞諾存在定理：定義在 上的一個一階線性常微分方程（其中 ）

必然有局部解。也就是說，必定存在一個關於 的鄰域 ，以及一個函式：

滿足 。

相關定理

皮亞諾存在定理可以和另外一個存在性定理：皮卡-林德洛夫定理作比較。相比起皮亞諾存在定理，皮卡-林德洛夫定理對函式 的要求更嚴格，但結論也更強。皮卡-林德洛夫定理要求函式 局部地滿足利普希茨條件，也就是說在任意一點 的附近，都有一個常數 和一個鄰域 ，使得對於 中任意的 兩點，都有：

。

這個要求比單純的連續性要高，但是得出的結論也更強了：皮卡-林德洛夫定理說明，在滿足上述要求時，微分方程的局部解不僅存在而且是唯一的。

例子

設 為一個常數，考慮函式

。

根據皮亞諾存在定理，由於函式 在 上連續，微分方程有解。但由於 ， 在 上不滿足利普希茨條件，於是解不一定是唯一的。事實上： ，函式都是微分方程的解，也就是說解有無窮多個。這個反例來源於一個物理模型：假設有一個漏水的容器，其水面高度（函式）和時間（變數）的關係由以上的微分方程定義的話，那么由於事實上可以觀測到漏水的過程，所以方程一定有解。但如果只知道容器在漏完水後的某個時刻的狀態（ ）的話，是無法倒過來推測原來的水位有多高的（也就是說沒有唯一解）。