《發展方程的同宿軌分岔與次調和分岔》是依託重慶大學，由朱長榮擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：發展方程的同宿軌分岔與次調和分岔
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：朱長榮
- 依託單位：重慶大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
自上世紀60年代，V. K. Melnikov、L. P. Silnikov、S.-N. Chow、J. K. Hale等著名數學家研究過同(異)宿軌在小擾動下的保持性與分岔，得到了非退化同(異)宿軌能夠保持以及發生分岔的各種參數條件。本項目將研究退化異宿軌分岔，在連線異宿軌的雙曲不動點的穩定流形的維數不等時，找到多條異宿軌並存的各種參數條件；研究由退化異宿軌構成的異宿環分岔出同宿軌的問題，找到決定同宿軌存在的分岔函式，由分岔函式的可解性條件就得到異宿環破裂而產生同宿軌的判據；通過控制方程有界解的增長速度，克服由系統在參數原點處的不連續性帶來的實質性困難，得到由多時間尺度構成的耦合奇異系統的退化同宿軌分岔條件；研究拋物型偏微分方程的次調和分岔，找到在周期函式擾動下，在退化同宿軌附近分岔出周期解的條件。
結題摘要
動力系統中很多動力性態的發生，都與系統的不變流形有關。對於線性系統，原點是不動點，它的穩定流形與不穩定流形分別是線性子空間，由方程的解構成的流，在穩定流形上是壓縮的，在不穩定流形上是擴張的；對於非線性系統，不動點的穩定流形與不穩定流形的結構複雜很多，當這兩種流形在相空間相交時，它能形成同（異）宿軌。對動力系統的同宿軌的保持和分岔的研究，自上個世紀六十年代以來，一直是動力系統研究的重要問題之一，因為混沌等很多動力行為都與同宿軌相關。著名數學家，如Hale、Silnikov、Melnikov、周修義等等都做出過很多很重要的工作。在他們的研究基礎上，我們繼續針對這個問題，做了如下的研究工作：1，研究了一類具有同宿於雙曲平衡點的同宿軌的確定性系統，在由布朗運動引起的隨機擾動下，隨機擾動的動力系統的同宿軌的保持性。通過引入截斷函式的方法，克服了因典型布朗運動的無界性帶來的困難，利用數學期望、方差等工具，得到了在隨機機率空間中，存在一個全測度的子集，對該子集中的任何樣本函式，擾動系統存在隨機意義下的同宿軌；2，考慮了從同宿軌附近分岔出擬周期解的問題。如果未擾動系統有一條同宿於雙曲平衡點的退化同宿軌，在周期小函式的擾動下，我們利用Lyapunov-Shmidt約化與指數二分性相結合的方法，得到了擾動系統存在擬周期解的條件—一族分岔函式，函式的零點就對應著擾動系統存在擬周期解，給出了分岔函式具有零點的Melnikov型二次函式判據，當二次函式具有簡單零點時，原來的分岔函式就具有零點；3，證實了帶退化同宿軌的自治微分方程，在小擾動下，擾動系統會出現多條同宿軌的問題。假設未擾動系統沿同宿軌的變分方程有3條有界解，我們用分析的方法得到擾動系統存在同宿軌的分岔函式，在尋找分岔函式的可解性條件時，出現了多元二次函式方程組。我們採用同時對角化的兩個二次型的方法，將其中的兩個二次型對角化，這樣多元方程組就極大地簡化了，最後得到擾動方程有四個同宿軌的條件。
