環面編碼

環面編碼是量子計算的一種模型。

基本介紹

• 中文名：環面編碼
• 外文名：toric code
• 所屬學科：量子計算

定義

考慮具備周期性邊界條件的正方格子（故組成環面），每個鍵j有自由度(自旋1/2，量子比特)，組成希爾伯特空間。

給定格點相鄰的四個鍵的自旋稱為一個星s。圍住正方形的四個鍵的自旋稱為一個嵌板p。

於是可以定義兩個算符分別作用在給定的星或嵌板的四個自旋上。

，

環面編碼的哈密頓量定義為

H=-J_e∑_sA_s-J_m∑_pB_p

對所有星s與所有嵌板p求和。

性質

自旋總數為N=2N_xN_y，故希爾伯特空間的維數為2。

(1-A_s)/2與(1-B_p)/2為投影算符。分別將投影至x方向與z方向的自旋向下態。

所有A_s與B_p相互對易。

基態

環面編碼的基態為所有A_s與B_p取本徵值+1的態。

考慮A_s的本徵態，在x方向自旋向上態以弦表示，自旋向下態以細線表示。則基態保證每個星均有偶數條弦。換言之，弦為連通的，且組成閉合迴路。故基態不存在開弦，開弦對應激發態。

而B_p則翻轉嵌板p的四個鍵的弦。

給定閉弦，則B_p的本徵值為+1的本徵態為，系統基態為

。

系統的基態是否不取決於的選擇，即基態|GS>是否唯一，取決於格子所處的流形的拓撲性質，故反映了基態的拓撲序。

威爾遜迴路算符

在環面，可以定義兩對威爾遜迴路算符

，

其中l_x/y為平行於在x/y方向環繞環面一次的直線的鍵的自旋集合，l_x/y為垂直於在x/y方向環繞環面一次且連線嵌板中心的直線的鍵的自旋集合。

W_x/y與W_x/y與所有A_s和B_p對易，故與哈密頓量對易。

且有W_xW_y=-W_yW_x。

選擇σ的基，則W_x/y給出環繞環面的x/y方向的奇偶性，W_x/y改變環繞環面的x/y方向的奇偶性。

拓撲激發

星激發記作e。e激發可以在基態上作用算符，其中l為連線兩個激發e₁與e₂的鍵弦。

故|e₁,e₂>=|GS>的能量為基態能量以上4J_e。

同理。m激發可以再基態上作用算符，其中l為垂直於連線兩個嵌板缺陷m₁與m₂的鍵弦。

故|m₁,m₂>=|GS>的能量為基態能量以上4J_m。