瑞利商疊代法

瑞利商疊代法(Rayleigh quotient iteration method)是一種用瑞利商作位移的反冪法。瑞利商疊代法值得注意的是，按我們形式上敘述的誤差，收斂性是平方的，甚至是立方的（三階的）。

基本介紹

• 中文名：瑞利商疊代法
• 外文名：Rayleigh quotient iteration method
• 定義：一種用瑞利商作位移的反冪法
• 套用學科：數學術語
• 範疇：數理科學
• 涉及：反冪法

概念

瑞利商疊代法(Rayleigh quotient iteration method)是一種用瑞利商作位移的反冪法。反冪法的收斂性和冪法本身一樣是線性的。不像冪法之處是只要充分接近，反冪法的收斂性係數可以任意小。對這一點的觀察導致在中當收斂到一特徵向量時，每步疊代均選取特徵值的“最佳猜測”，自適應地改變參數的概念。這樣，瑞利商疊代法與反冪法不同之處，在於每一疊代步，在中用瑞利商代替。我們用規範化的的殘量的長度來度量向量滿足特徵向量條件的偏差。具體地說，準則是

瑞利商疊代法值得注意的是，按我們形式上敘述的誤差，收斂性是平方的，甚至是立方的（三階的）。

基本原理

定理：設是按瑞利商疊代法構成的，並假定在每步疊代，對某確定的，滿足，若以表示殘量的長度，即

則對於某常數和，

證明：設表示一個特徵向量的估計值，假定，且實部，這裡是的第一個分量，設是變換使

可分解為，類似於下面的分塊結論是正確的：

式中顯然是對的瑞利商，且是維向量。

利用酋陣的性質，得到若按的定義則

鑒於，得到誤差的關係式

設是由瑞利商疊代決定的，它是向量的非規範化的後繼向量，即設

再利用酋陣的性質，求得

式中，以左乘得到

與比較，得到結論