理想格

理想格(ideal lattice)亦稱幻格。由格的理想構成的一類格。指格L的一切理想的集合I(L)按集合的包含關係偏序化所構成的格。若J，K∈I(L)， J∧K=J∩K， J∨K=(J∪K]，稱為格L的理想格。

基本介紹

• 中文名：理想格
• 外文名：ideal lattice
• 領域：數學
• 學科：格論
• 別稱：幻格
• 定義：格的理想構成的一類格

概念

理想格(ideal lattice)亦稱幻格。由格的理想構成的一類格。指格L的一切理想的集合I(L)按集合的包含關係偏序化所構成的格。若J，K∈I(L)， J∧K=J∩K， J∨K=(J∪K]，稱為格L的理想格，其中(J∪K]是由J和K的並集生成的理想。格L的理想格I(L)是模格若且唯若L是模格。分配格L的理想格I(L)是完全布勞威爾格。

格

“格”一種特殊的偏序集。在許多數學對象中，所考慮的元素之間具有某種順序。

例如，一組實數間的大小順序；一個集合的諸子集（或某些子集）間按（被包含）所成的順序 ；一組命題間按蘊涵所成的順序；等等。這種順序一般不是全序，即不是任意二元素間都能排列順序，而是在部分元素間的一種順序即偏序（半序）。偏序集和格就是研究順序的性質及作用而產生的概念和理論。

格論在代數學、射影幾何學、集合論、數理邏輯、泛函分析以及機率論等許多數學分支中都有套用。例如，在代數學中，對於一個群G與其子群格（G）之間關 系的研究。在數理邏輯中，關於不可解度的研究。

格的定義：設（L，≤）是偏序集，若L中任意兩個元素都存在上確界以及下確界，則稱（L，≤）是格（lattice），為了方便，這樣的格成為偏序格。

格論

格論論述次序及包含的性質，是布爾代數的推廣，現已成為代數的重要組成部分，並在泛函分析、賦值論、幾何、邏輯、計算機科學、圖論等方面有廣泛的套用。所謂格即指在集合L中定義兩個代數運算∨和∧，這兩個代數運算滿足：(1)a∨a = a ， a∧ a = a(冪等律)；(2)a ∨ b = b ∨ a，a ∧ b=b ∧ a(交換律)；(3)a ∨交換律;(3)a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨c，a ∧ b(b ∧ c)=(a∧b) ∧ c(結合律)；(4)a ∨ (a ∧b)=a，a ∧ (a∨ b)=a(吸收律)，記作(L，≤)。格論中最重要的概念是集合上的半序關係。格的種類有分配格、模格、完全格等。

理想

理想是集合論中的基本概念之一。設S為任意集合，若I⊆P(S)且滿足：

1.∅∈I；

2.若X，Y∈I，則X∪Y∈I；

3.若X，Y⊆S，X∈I，Y⊆X，則Y∈I；

則稱I為集合S上的理想。理想的概念在現代數學的幾乎每個分支中均有套用，且有許多變體或引申。例如，布爾代數上的理想即為集合上的理想的一種變體。設B為任意布爾代數，若B的一個子集I滿足：

1.0∈I，1∉I(其中0，1分別為布爾代數B中的零元與么元)；

2.對任何u∈I，v∈I，有u+v∈I；

3.對任何u，v∈B，若u∈I且v≤u，又v∈I；

則稱I為B上的理想。

格的理想

格的理想亦稱格的幻。格論的基本概念之一。相當於群論中的正規子群。格(並半格)L的非空子集J，若具有下列性質：

1.a∈J，x∈L，若x≤a，則x∈J(下封閉性)。

2.若a∈J，b∈J，則a∨b∈J(並封閉性)，

稱J為格L的理想(並理想)。格L的子格S是理想若且唯若a∈S和x∈L有a∧x∈S。在格(交半格)中，理想的對偶概念稱為對偶理想(交理想、濾子、對偶幻)。格的理想的概念是由斯通(Stone，M.H.)於1934-1935年引入的。