球冪定理是圓冪定理的推廣，即空間形式。
基本介紹
- 中文名：球冪定理
- 所屬學科：數學
定理介紹,證明,
定理介紹
類比圓冪定理有：
定理1
：從球面外一點P向球面引割線，交面於Q、R兩點；再從點P引球面的任一切線，切點為S，則
PS2=PQ*PR.
定理2
：從球面外一點P向球面引兩條割線，它們分別與球面相交於Q、R、S、T四點，則
PQ*PR=PS*PT.
定理3
定理3
：設點P是球面內一點，過點P作兩條直線，分別與球面相交於Q、R、S、T四點，則PQ*PR=PS*PT.
定理1
定理2
定理1、2、3統稱為球冪定理。
證明
具體證明可以通過P、Q、R、S、T五點在同一個平面內，劃歸為平面問題來解決，接下來的證明就和圓冪定理是一樣的了。
證明如下：
因為直線QR與ST相交於點P，所以直線QR與ST共面。又因為這兩條直線均與球O相交，所以Q、R、S、T四點共圓。然後就是圓冪定理的證明：（Q、R、S、T與下文中的A、B、C、D相對應）
圖1中Ⅰ：相交弦定理。如圖1中Ⅰ，AB、CD為圓O的兩條任意弦。相交於點P，連線AD、BC，由於∠B與∠D同為弧AC所對的圓周角，因此由圓周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以
。所以有：
，即：
。
圖1中Ⅱ：割線定理。如圖1中Ⅱ，連線AD、BC。可知∠B=∠D，又因為∠P為公共角，所以有
圖1中Ⅳ：PA、PC均為切線，則∠PAO=∠PCO=90°，在直角三角形中：OC=OA=R，PO為公共邊，因此
。所以PA=PC，所以
。
綜上可知，是普遍成立的。
圖1圓冪定理的所有情況
