物不知數

歷史起源

這是依據《孫子算經》上有名的“孫子問題”（又稱“物不知數題”）編寫而成的。原來的題目是：

“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物幾何？”

“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物幾何？”

用通俗的話來說，題目的意思就是：

有一些物品，不知道有多少個，只知道將它們三個三個地數，會剩下2個；五個五個地數，會剩下3個；七個七個地數，也會剩下2個。這些物品的數量至少是多少個？

（註：詩題及題目原文都無“至少”二字，但“孫子問題”都是些求“最少”或者求“至少”的問題，否則就會有無數多個答案。所以，解釋題目意思時，在語句中加上了“至少”二字。）

《孫子算經》解這道題目的“術文”和答案是：

“三三數之剩二，置一百四十；五五數之剩三，置六十三；七七數之剩二，置三十。並之，得二百三十三，以二百十減之，即得。”“答曰：二十三。”

這些話是什麼意思呢？用通俗的話來說，就是：

先求被3除餘2，並能同時被5、7整除的數，這樣的數最小是35；

再求被5除餘3，並能同時被3、7整除的數，這樣的數最小是63；

然後求被7除餘2，並能同時被3、5整除的數，這樣的數最小是30。

於是，由35+63+30=128，得到的128就是一個所要求得的數。但這個數並不是最小的。

再用求得的“128”減去或者加上3、5、7的最低公倍數“105”的倍數，就得到許許多多這樣的數：

{23，128，233，338，443，…}

從而可知，23、128、233、338、443、…都是這一道題目的解，而其中最小的解是23。

答：這些物品的數目至少是23個。

需要指出的是，在《孫子算經》上，有一段關於這類題目的解題“術文”：

“凡三三數之剩一則置七十，五五數之剩一則置二十一，七七數之剩一則置十五，一百六以上以一百五減之，即得。”

（註：古稱“106”和“105”為“一百六”和“一百五”，而稱“160”和“150”為“一百六十”和“一百五十”。所以，這裡的“一百六”和“一百五”分別指“106”和“105”，而不是“160”和“150”。）

明代著名的大數學家程大位，在他所著的《算法統宗》中，對於這種解一般“孫子問題”的方法，還編出了四句歌訣，名曰《孫子歌》：

三人同行七十稀，

五樹梅花廿一枝；

七子團圓正半月，

除百零五便得知。

歌中的“廿”，讀音與“念”音相同。“廿”即二十的意思。

這一歌訣的“詩意”，我們可以不去理會，只需注意它的數字就行了。歌訣中的每一句話，都指出了一步解題方法：