《無窮維3-代數和Nambu力學中一些問題的研究》是依託首都師範大學，由趙偉忠擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：無窮維3-代數和Nambu力學中一些問題的研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：趙偉忠
- 依託單位：首都師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
Nambu力學可視為推廣的哈密頓力學,由於Nambu力學的特有性質，引起了人們的廣泛關注，使其在許多方面具有重要的套用。在本項目中我們將首先針對無窮維3-代數進行深入研究，構造出一些滿足FI(fundamental identity)條件的無窮維3-代數。基於對無窮維3-代數的理解和認識，我們將繼續對其超對稱以及q-形變的情形進行分析和研究，然後我們將在Nambu力學的框架下研究（超）無窮維3-代數和（超）可積系統（如KP方程族，KdV方程族等等）之間的聯繫，設法建立二者之間的聯繫。另外Calogero- Moser 模型研究的是一個具有長程相互作用的多粒子系統，該系統是經典及量子可積系統，具有豐富的數學結構和物理內涵。我們將主要從分析該模型的對稱代數角度出發，在Nambu力學的框架下對該模型進行研究，進一步揭示Calogero- Moser 模型的特性。
結題摘要
在本項目中我們主要對一些無窮維3-代數進行了細緻的研究。眾所周知 $W_{1+\infty}$ 代數是一個重要的無窮維代數，它在共形場和可積系統中有重要的套用。我們給出了 $W_{1+\infty}$ 3-代數具體形式並研究了該3-代數與KP方程族之間的聯繫。我們發現在Nambu力學的框架下取兩個不同的“哈密頓量對”可以給出KP方程以及KdV方程，此外我們基於KP方程族的不同“哈密頓量對”導出了一些（2+1）維非線性演化方程，雖然這些方程是不可積的（沒有多孤子解），但我們發現其中一些方程仍然有單孤子解。另外我們在Nambu力學的框架下給出了復mKdV方程，Sasa-Satsuma 方程等一些重要的可積方程，我們還給出了一些推廣的非線性薛丁格方程及其單孤子解並討論了其在光纖通訊中的套用。我們對經典的Calogero-Moser模型也進行了研究，並給出了Virasoro-Witt 3-代數和 $W_{\infty}$ 3-代數的一種實現。我們還對q-形變的 Virasoro-Witt 和 SDiff(T2) n-代數進行了具體研究，構造出了非平凡的 q-形變 Virasoro-Witt n-代數，並證明了該q-形變的 n-代數實際上是 sh-n-Lie 代數；而對於q-形變的 SDiff(T2) n-代數，我們注意到僅當n是偶數時，它才構成sh-n-Lie 代數。由於這些q-形變的無窮維n-代數具有獨特的性質，這為我們進一步研究其在物理學中的套用提供了堅實的基礎。在項目中我們還在三系統（triple system）的框架下深入研究了Yang-Baxter方程，我們注意到如果要求Yang-Baxter方程的有理 R矩陣解滿足推廣的Filippov條件，此時可以給出R矩陣所滿足的一個約束關係式。我們對超Yang-Baxter方程的情形也進行了相應的研究，並導出了相應R矩陣所滿足的約束關係式。我們還進一步研究了一個與有理R矩陣關聯的三系統的對稱性，指出該三系統具有Yangian Y(sl2)協變性, 由於這樣的三系統具有很好的對稱性，這將有助於我們今後深入研究其在物理中的套用。
