漢明重量

漢明重量是一串符號中非零符號的個數。因此它等同於同樣長度的全零符號串的漢明距離。在最為常見的數據位符號串中，它是1的個數。

漢明重量是以理察·衛斯里·漢明的名字命名的，它在包括資訊理論、編碼理論、密碼學等多個領域都有套用。

基本介紹

• 中文名：漢明重量
• 本質：一串符號中非零符號的個數
• 特點：等於同長度全零符號串的漢明距離

SWAR算法“計算漢明重量”

第一步：
計算出來的值i的二進制可以按每2個二進制位為一組進行分組，各組的十進制表示的就是該組的漢明重量。

第二步：
計算出來的值i的二進制可以按每4個二進制位為一組進行分組，各組的十進制表示的就是該組的漢明重量。

第三步：
計算出來的值i的二進制可以按每8個二進制位為一組進行分組，各組的十進制表示的就是該組的漢明重量。

第四步：
i * (0x01010101)計算出漢明重量並記錄在二進制的高八位，>>24語句則通過右移運算，將漢明重量移到最低八位，最後二進制對應的十進制數就是漢明重量。

算法時間複雜度是O（1）的。

相關代碼

// 計算32位二進制的漢明重量int32_t swar(int32_t i){        i = (i & 0x55555555) + ((i >> 1) & 0x55555555);    i = (i & 0x33333333) + ((i >> 2) & 0x33333333);    i = (i & 0x0F0F0F0F) + ((i >> 4) & 0x0F0F0F0F);    i = (i * (0x01010101) >> 24);    return i}

實現

在密碼學以及其它套用中經常需要計算數據位中1的個數，針對如何高效地實現人們已經廣泛地進行了研究。一些處理器使用單個的命令進行計算，另外一些根據數據位向量使用並行運算進行處理。對於沒有這些特性的處理器來說，已知的最好解決辦法是按照樹狀進行相加。例如，要計算二進制數A=0110110010111010中1的個數，這些運算可以表示為圖一：

圖一

這裡的運算是用C語言表示的，所以X >> Y表示X右移Y位，X & Y表示X與Y的位與，+表示普通的加法。基於上面所討論的思想的這個問題的最好算法列在這裡：

//types and constants used in the functions below typedef unsigned __int64 uint64;  //assume this gives 64-bitsconst uint64 m1 = 0x5555555555555555; //binary: 0101...const uint64 m2 = 0x3333333333333333; //binary: 00110011..const uint64 m4 = 0x0f0f0f0f0f0f0f0f; //binary:  4 zeros,  4 ones ...const uint64 m8 = 0x00ff00ff00ff00ff; //binary:  8 zeros,  8 ones ...const uint64 m16 = 0x0000ffff0000ffff; //binary: 16 zeros, 16 ones ...const uint64 m32 = 0x00000000ffffffff; //binary: 32 zeros, 32 ones ...const uint64 hff = 0xffffffffffffffff; //binary: all onesconst uint64 h01 = 0x0101010101010101; //the sum of 256 to the power of 0,1,2,3... //This is a naive implementation, shown for comparison,//and to help in understanding the better functions.//It uses 24 arithmetic operations (shift, add, and).int popcount_1(uint64 x) {    x = (x & m1 ) + ((x >>  1) & m1 ); //put count of each  2 bits into those  2 bits    x = (x & m2 ) + ((x >>  2) & m2 ); //put count of each  4 bits into those  4 bits    x = (x & m4 ) + ((x >>  4) & m4 ); //put count of each  8 bits into those  8 bits    x = (x & m8 ) + ((x >>  8) & m8 ); //put count of each 16 bits into those 16 bits    x = (x & m16) + ((x >> 16) & m16); //put count of each 32 bits into those 32 bits    x = (x & m32) + ((x >> 32) & m32); //put count of each 64 bits into those 64 bits    return x;} //This uses fewer arithmetic operations than any other known  //implementation on machines with slow multiplication.//It uses 17 arithmetic operations.int popcount_2(uint64 x) {    x -= (x >> 1) & m1;             //put count of each 2 bits into those 2 bits    x = (x & m2) + ((x >> 2) & m2); //put count of each 4 bits into those 4 bits    x = (x + (x >> 4)) & m4;        //put count of each 8 bits into those 8 bits    x += x >>  8;  //put count of each 16 bits into their lowest 8 bits    x += x >> 16;  //put count of each 32 bits into their lowest 8 bits    x += x >> 32;  //put count of each 64 bits into their lowest 8 bits    return x &0xff;} //This uses fewer arithmetic operations than any other known  //implementation on machines with fast multiplication.//It uses 12 arithmetic operations, one of which is a multiply.int popcount_3(uint64 x) {    x -= (x >> 1) & m1;             //put count of each 2 bits into those 2 bits    x = (x & m2) + ((x >> 2) & m2); //put count of each 4 bits into those 4 bits    x = (x + (x >> 4)) & m4;        //put count of each 8 bits into those 8 bits    return (x * h01)>>56;  //returns left 8 bits of x + (x<<8) + (x<<16) + (x<<24) + ...}

在最壞的情況下，上面的實現是所有已知算法中表現最好的。但是，如果已知大多數數據位是0的話，那么還有更快的算法。這些更快的算法是基於這樣一種事實即X與X-1相與得到的最低位永遠是0。例如圖二：

減1操作將最右邊的符號從0變到1，從1變到0，與操作將會移除最右端的1。如果最初X有N個1，那么經過N次這樣的疊代運算，X將減到0。下面的算法就是根據這個原理實現的。

圖二

//This is better when most bits in x are 0//It uses 3 arithmetic operations and one comparison/branch per "1" bit in x.int popcount_4(uint64 x) {    uint64 count;    for (count=0; x; count++)        x &= x-1;    return count;} //This is better if most bits in x are 0.//It uses 2 arithmetic operations and one comparison/branch  per "1" bit in x.//It is the same as the previous function, but with the loop unrolled.#define f(y) if ((x &= x-1) == 0) return y;int popcount_5(uint64 x) {    if (x == 0) return 0;    f( 1) f( 2) f( 3) f( 4) f( 5) f( 6) f( 7) f( 8)    f( 9) f(10) f(11) f(12) f(13) f(14) f(15) f(16)    f(17) f(18) f(19) f(20) f(21) f(22) f(23) f(24)    f(25) f(26) f(27) f(28) f(29) f(30) f(31) f(32)    f(33) f(34) f(35) f(36) f(37) f(38) f(39) f(40)    f(41) f(42) f(43) f(44) f(45) f(46) f(47) f(48)    f(49) f(50) f(51) f(52) f(53) f(54) f(55) f(56)    f(57) f(58) f(59) f(60) f(61) f(62) f(63)    return 64;} //Use this instead if most bits in x are 1 instead of 0#define f(y) if ((x |= x+1) == hff) return 64-y;