漢密爾頓函式

哈密頓體系適用於攝動理論，例如天體力學的攝動問題，並對理解複雜力學系統運動的一般性質起重要作用。

基本介紹

• 中文名：哈密頓函式
• 外文名：Hamiltonian  
• 學科：經典力學、量子力學、經濟學
• 提出者：哈密頓
• 提出時間：19世紀

理論簡介

19世紀英國數學家哈密頓用變分原理推導出哈密頓正則方程，此方程是以廣義坐標和廣義動量為變數，用哈密頓函式來表示的一階方程組，其形式是對稱的。用正則方程描述運動所形成的體系，稱為哈密頓體系或哈密頓動力學（Hamiltonian），它是經典統計力學的基礎，又是量子力學借鑑的範例。哈密頓體系適用於攝動理論，例如天體力學的攝動問題，並對理解複雜力學系統運動的一般性質起重要作用。

哈密頓函式本身來源於對古典變分法的引申，其結論可還原為歐拉方程。現代西方經濟學也將哈密頓函式引入自身的動態最佳化問題當中，作為巨觀經濟分析的一個重要手段。

數學推導

基本問題的形式如下：

s.t. y(*)=f(t,y,u),y(0)=A,y(T)=yT,（y(*)是指y的增量）

對任意t∈（0，t），都有u(t)∈Γ，Γ是閉凸集。

狀態路徑y，只要求分段連續可微（注意與古典變分法區別）

哈密頓函式的形式：

H(t,y,u,λ)=F(t,y,u)+λ(t)·f(t,y,u)

最大值原理（龐特利雅金—赫斯坦斯原理）：

1. 取得內點解的一階條件：∂H/∂u=0
   
2. y的運動方程：y(*)=∂H/∂λ
   
3. λ的運動方程：λ(*)=-∂H/∂y
   
4. 橫截性條件：（一般情況下）λ(T)=0
   

哈密頓函式求解與古典變分法的關係：

s.t. y(*)=u,y(0)=A,y(T)=yT,

在哈密頓函式求解中，令y(*)=u

∂H/∂u=0得知λ=-Fu(F函式對u求導)，而u=y(*)，即λ=-Fy(*)(F函式對y(*)求導)

λ(*)=-∂H/∂y=-Fy=-dFy(*)/dt

Fy=-Fy(*)/dt即是歐拉方程的一般形式。也從根本上說明了哈密頓函式求解最優控制問題時的思想還是基於古典變分法。