消除趨勢波動分析法

方法介紹

全稱：Detrended Fluctuation Analysis，DFA，DFA是1994年由Peng等基於DNA機理提出的標度指數計算方法，用於分析時間序列的長程相關性。

DFA 方法的一個優點是它可以有效地濾去序列中的各階趨勢成分, 能檢測含有噪聲且疊加有多項式趨勢信號的長程相關, 適合非平穩時間序列的長程冪律相關分析。

(1) 對於序列x(t)，計算其累積離差y(t)

首先濾去了時間序列的平均值。由於循環或者波動成分對於一般的時間序列的可能存在, 那么一個時間序列可能有隨機成分, 把序列的這些成分過濾掉則會有很大的幫助。

(2)序列重構

對y(t)分別進行等長分割，以長度s將序列分割成m個不重疊的區間，其中m=[n/s](取整數)；由於序列長度並不總是增量s的整數倍, 因此, 序列尾端有時會出現小部分的數據信息未能被利用。為了充分利用數據,對序列的顛倒順序進行同樣的操作，共得到個等長度的區間。

(3) 對每個區間v，用最小二乘法分別對每個區間所包含的S個數據進行一階線性擬合。

(4) 計算每個區間濾去趨勢後的均方差( 此處將順序和逆序分別公式進行計算)。

(5)對所有等長度區間求均值並開方, 計算得到DFA 波動函式。

(6) 如果徑流時間序列{x(t)}長程冪律相關，則F (s)與s滿足冪律關係。

在雙對數坐標(ln(s),ln(F(s)))中的散點圖，用最小二乘法對數據點進行擬合，其中直線部分的斜率，即Hurst指數。

Hurst指數的相關性

(1)當0.5<h<1時，說明時間序列具有長程相關性，呈現出趨勢不斷增強的狀態，即在某一時間段是遞增(遞減)趨勢，下一個時間段也會是遞增(遞減)趨勢，且h越接近於1，相關性越強。

(2)當h=0.5時，說明時間序列不相關，是一個獨立的隨機過程，即當前狀態不會影響將來狀態。

(3)當0<h<0.5時，說明徑流時間序列只存在負的相關性，呈現反持久性的狀態，即時間序列在某一個時間段是遞增(遞減)的趨勢，則在下一個時間段是遞減(遞增)的趨勢。

由DFA計算電價時間序列時，得到Hurst指數h=0.966，即0.5<h<1，說明該時間序列具有明顯的長程相關性，具有長程冪律關係，是典型的分形時間序列。

所以，電價序列的變化不完全是一個隨機過程, 過去序列的特性將影響到現在和未來序列特性的變化存在著記憶效應, 即電價未來變化趨勢與其歷史變化趨勢成正相關, 指數越大, 這種正相關越強。

(1)A-DFA(非對稱消除趨勢波動分析)

時間序列的DFA分析主要是探討序列的長程相關性，但不能完全展現出徑流波動過程中詳細的內在規律，有一定的局限性。A-DFA被提出，引入了兩個新的標度指數hq+和hq-，分別表征時間序列中正的波動趨勢和負的波動趨勢，來分析序列的波動特性。