波萊爾－坎泰利引理

波萊爾－坎泰利引理是機率論中的一個基本結論。大致上，波萊爾－坎泰利引理說明了，如果有無窮個機率事件，它們發生的機率之和是有限的，那么其中的無限多個事件一同發生的機率是零。這個定理實際上是測度論的結論在機率論中的套用，得名於數學家埃米爾·波萊爾與弗朗西斯科·保羅·坎泰利。

基本介紹

• 中文名：波萊爾－坎泰利引理
• 學科：機率論

機率空間中的定理

設E_n為某個機率空間中的一個事件序列。波萊爾－坎泰利引理說明： 如果所有的事件E_n發生的機率P的總和是有限的，

那么它們之中有無限多個同時發生的機率等於零：

其中的是指一個事件序列的上極限。由於每一個事件都是若干個可能結果的集合，所以就是指使得序列裡面有無限多個事件一起發生的結果（outcome，或稱樣本輸出）的集合。準確來說，

證明

設(E_n)是某個機率空間里的一系列事件。假設這些事件發生的機率之和是有限的：

這等價於說，正項無窮級數收斂。所以，根據無窮級數的性質，級數的餘項的下極限是0：

因此，

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對於更一般的機率空間，波萊爾－坎泰利引理可以敘述如下：

設μ是一個集合X上的測度，裝備了σ-代數F。設(A_n)為F中的一個序列。如果：

那么，。