《正能定理和薛丁格運算元特徵值的關係》是依託武漢大學，由徐旭擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：正能定理和薛丁格運算元特徵值的關係
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：徐旭
- 依託單位：武漢大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
正能定理是數學和理論物理相結合的一個重要課題，是廣義相對論最深刻的結果之一。它自從上世紀60年代被物理學家作為一個猜測提出以來，一直受到國內外數學家和物理學家的廣泛關注。在本項目中，我們將利用微分幾何，偏微分方程，拓撲等學科中的工具和結果研究相關的問題，包括： （1）對非時間對稱的漸近平坦初始數據，正能定理和薛丁格運算元的特徵值之間的關係； （2）漸近anti-de Sitter的初始數據在時間對稱和非時間對稱的情形下，其上薛丁格運算元的正定性是否蘊含正能定理； （3）薛丁格運算元的特徵值和其它在主能量條件下得到的與引力能量有關的不等式的關係。 本項目旨在更加深入地理解時空中物質和引力的關係，將豐富引力能量的相關理論。本項目所涉及的問題是現在國際數學物理的主流方向之一，具有很高的學術研究價值。
結題摘要
我們研究了漸近雙曲流形上帶電磁場的正能定理，發現在初始數據滿足帶電磁場的主能量條件時，總能量會有一個正下界，這個正下界由總動量，總電荷，總磁動量給出。我們同時還研究了總能量為0時的剛性問題，發現在此時初始數據上存在是個線性獨立的平行旋量，它會給出初始數據一定的結構。該結果大大加強了我們對漸近雙曲時空的了解，得到了漸近雙曲時空中存在電磁場時總能量可以有一個更大的下界，這個下界不僅包含通常的總動量，還包括電磁場提供的總電荷和總磁動量。給帶電磁場的漸近雙曲時空的穩定性提供了保證，也進一步驗證了愛因斯坦相對論的自洽性。 我們還研究了剖分流形上的組合曲率與曲率流。對於帶堆圓度量的曲面以及帶堆球度量的三維流形，我們引入了一種新的組合高斯曲率，這種曲率一方面可以很好的逼近光滑的高斯曲率，另外一方面它具有較好的變換性質。對於這種曲率我們考慮了其存在唯一性問題，推廣了著名的Andreev-Thurston定理。同時，我們還引入了組合Ricci流，組合Calabi流以及組合Yamabe流來研究其存在性，發現了這些流的收斂性和常曲率度量存在的等價性。我們還考慮對應的雙曲幾何背景的問題。另外我們將Thurston的堆圓度量推廣到反演距離堆圓度量，也考慮了對應的存在唯一性，證明了廣義的Bower-Stephenson猜想。對於三維的堆球度量，我們證明了Cooper-Rivin於1996年提出的關於堆球度量整體剛性的猜想。
